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La production optimale de l'atelier
Énoncé
Un atelier fabrique des paniers garnis. Le coût total de production, en euros, pour paniers est . Le coût moyen unitaire est . Détermine la quantité de paniers qui rend ce coût moyen unitaire minimal, puis conclus sur la production la plus économique de l'atelier (le coût par panier le plus bas).
Besoin d'un coup de pouce ?
- Commence par écrire le coût moyen , puis divise chaque terme du numérateur par pour obtenir une forme plus simple.
- Tu obtiens . Calcule cette valeur pour plusieurs quantités (par exemple , , ) et repère la plus petite.
- Le minimum est atteint pour . Pour le confirmer, vérifie qu'à cette quantité le coût marginal est proche du coût moyen minimal.
Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.
Voir le corrigé détaillé
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1. Écrire le coût moyen unitaire
On divise le coût total par la quantité : En séparant les termes, cela donne (chaque terme du numérateur est divisé par ). -
2. Dresser un tableau de valeurs autour du minimum
On calcule pour plusieurs quantités afin de repérer où la fonction est la plus basse. Pour : €. Pour : €. Pour : €. -
3. Repérer le minimum
Le coût moyen descend de € (pour paniers) à € (pour paniers), puis remonte à € (pour paniers). Le coût moyen unitaire est donc minimal pour paniers, où il vaut € par panier. -
4. Vérifier avec le coût marginal
Au minimum du coût moyen, le coût marginal doit rejoindre le coût moyen. Le coût marginal du panier est On calcule € et €. Donc €, très proche du coût moyen minimal € : c'est bien autour de paniers que le coût marginal rattrape le coût moyen, ce qui confirme le minimum. -
5. Conclure
La production la plus économique est de paniers : à cette quantité, le coût moyen unitaire est minimal et vaut € par panier. En produire moins ou plus revient à payer chaque panier plus cher.
Réponse finale
Ta progression