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Première pro Bonus premium

La production optimale de l'atelier

Énoncé

Un atelier fabrique des paniers garnis. Le coût total de production, en euros, pour qq paniers est C(q)=2q2+50q+7200C(q) = 2q^2 + 50q + 7\,200. Le coût moyen unitaire est CM(q)=C(q)qC_M(q) = \frac{C(q)}{q}. Détermine la quantité de paniers qui rend ce coût moyen unitaire minimal, puis conclus sur la production la plus économique de l'atelier (le coût par panier le plus bas).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par écrire le coût moyen CM(q)=C(q)qC_M(q) = \frac{C(q)}{q}, puis divise chaque terme du numérateur par qq pour obtenir une forme plus simple.
  2. Tu obtiens CM(q)=2q+50+7200qC_M(q) = 2q + 50 + \frac{7\,200}{q}. Calcule cette valeur pour plusieurs quantités (par exemple q=50q = 50, q=60q = 60, q=72q = 72) et repère la plus petite.
  3. Le minimum est atteint pour q=60q = 60. Pour le confirmer, vérifie qu'à cette quantité le coût marginal Cm(60)=C(60)C(59)C_m(60) = C(60) - C(59) est proche du coût moyen minimal.
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