Première pro · Chapitre 7

Calculs commerciaux et financiers

Cours de Première pro : intérêt simple et valeur acquise, taux annuel et mensuel proportionnels, coût total, coût marginal et coût moyen unitaire. Production, placements, exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Tu places tes économies sur un livret, tu fabriques des burgers dans un food-truck, tu gères la production d’un atelier : derrière ces situations se cachent les mêmes outils de calcul. L’intérêt simple dit combien rapporte un capital placé. Les taux proportionnels permettent de passer d’un taux annuel à un taux mensuel. Et les coûts (total, marginal, moyen) servent à savoir combien coûte vraiment ce que l’on produit, et à quelle quantité on produit au meilleur prix. Ce chapitre te donne les réflexes pour décider juste.

Mes objectifs

À la fin de ce chapitre, je sais :

calculer un intérêt simple et la valeur acquise d’un capital placé ;
passer d’un taux annuel à un taux mensuel proportionnel (et l’inverse) ;
calculer un coût total pour une quantité donnée ;
calculer le coût marginal d’une unité, c’est-à-dire le coût de l’unité supplémentaire ;
calculer un coût moyen unitaire et trouver la quantité qui le minimise.

À quoi ça sert ?

Dès que tu produis ou que tu vends, ces calculs décident de ta rentabilité. Combien rapporte l’argent que tu mets de côté pour t’acheter une paire de sneakers ? Si je fabrique un burger de plus, combien me coûte-t-il vraiment ? À partir de combien d’articles mon atelier produit-il au prix le plus bas par pièce ? Savoir répondre, c’est éviter de vendre à perte et fixer ses prix au bon niveau.

1. L’intérêt simple et la valeur acquise

Capital, taux et intérêt simple

Le capital $C$ est la somme placée (ou empruntée) au départ, en euros.
Le taux annuel $t$ (en pourcentage) indique ce que rapporte le placement par an.
La durée $n$ est exprimée en années.

Avec l’intérêt simple, les intérêts se calculent toujours sur le capital de départ :

$I = C \times \frac{t}{100} \times n$

La valeur acquise

La valeur acquise $V$ est la somme totale dont tu disposes à la fin du placement : c’est le capital de départ augmenté des intérêts.

$V = C + I = C + C \times \frac{t}{100} \times n$

Exemple : un capital de $1\,000\ \text{€}$ placé à $3\,\%$ pendant $2$ ans rapporte un intérêt de $I = 1\,000 \times 0{,}03 \times 2 = 60\ \text{€}$ , donc $V = 1\,000 + 60 = 1\,060\ \text{€}$ .

Quand la durée est en mois

La formule attend une durée en années. Si l’énoncé donne une durée en mois, il faut la convertir : un mois vaut $\frac{1}{12}$ d’année.

$n = \frac{\text{nombre de mois}}{12}$

Exemple : $6$ mois donnent $n = \frac{6}{12} = 0{,}5$ an ; $3$ mois donnent $n = \frac{3}{12} = 0{,}25$ an.

Ne pas confondre l'intérêt et la valeur acquise

La valeur acquise n’est pas l’intérêt tout seul : il faut rajouter le capital de départ.

FAUX : un capital de $1\,500\ \text{€}$ placé à $2{,}5\,\%$ pendant $1$ an « donne une valeur acquise de $37{,}50\ \text{€}$ ».
VRAI : $37{,}50\ \text{€}$ est seulement l’intérêt ( $I = 1\,500 \times 0{,}025 \times 1 = 37{,}50\ \text{€}$ ). La valeur acquise est $V = 1\,500 + 37{,}50 = 1\,537{,}50\ \text{€}$ .

Surveille aussi la durée : si elle est en mois, convertis-la en années avant de calculer.

2. Les taux proportionnels

Pourquoi un taux mensuel ?

Une banque annonce un taux annuel, mais un placement (ou un crédit pour un smartphone) peut durer quelques mois seulement. Le taux proportionnel permet de répartir le taux annuel sur chaque mois, de façon régulière, pour calculer les intérêts mois par mois.

Taux mensuel proportionnel

Le taux mensuel proportionnel $t_m$ est la part du taux annuel $t_a$ qui revient à un seul mois. Comme une année compte $12$ mois, on divise le taux annuel par $12$ :

$t_m = \frac{t_a}{12}$

Le retour à l'année

Avec un taux proportionnel, $12$ mois au taux mensuel redonnent exactement le taux annuel :

$t_a = t_m \times 12$

C’est cette égalité qui sert à vérifier un calcul, ou à retrouver le taux annuel à partir du taux mensuel.

D'un taux annuel à un taux mensuel

Un livret affiche un taux annuel de $4{,}8\,\%$ . Le taux mensuel proportionnel est :

$t_m = \frac{4{,}8}{12} = 0{,}4\,\%\ \text{par mois}.$

Vérification : $0{,}4 \times 12 = 4{,}8\,\%$ . On retrouve bien le taux annuel.

Diviser, pas multiplier (et l'inverse)

Le sens de l’opération dépend de ce que l’on cherche.

FAUX : pour passer d’un taux annuel de $4{,}8\,\%$ au taux mensuel, « multiplier par $12$ », ce qui donnerait $57{,}6\,\%$ : c’est absurde, un mois ne peut pas rapporter plus que l’année entière.
VRAI : on divise par $12$ pour aller de l’année vers le mois : $t_m = \frac{4{,}8}{12} = 0{,}4\,\%$ . On multiplie par $12$ seulement pour faire le chemin inverse (du mois vers l’année).

Repère bien le point de départ : le taux mensuel est toujours plus petit que le taux annuel.

3. Le coût total

Le coût total de production

Le coût total $C(q)$ est la somme de toutes les dépenses nécessaires pour produire une quantité $q$ d’articles (ou de portions). Il se compose :

des coûts fixes : ils ne dépendent pas de la quantité produite (loyer du local, assurance, abonnements) ;
des coûts variables : ils augmentent avec la quantité (matières premières, ingrédients, emballages).

Dans ce chapitre, le coût total est donné par une fonction de la quantité $q$ , par exemple $C(q) = 2q^2 + 50q + 7\,200$ .

Calculer un coût total

On remplace simplement $q$ par la quantité demandée dans la fonction de coût, puis on calcule.

Exemple : avec $C(q) = 2q^2 + 50q + 7\,200$ , le coût de $30$ articles est :

$C(30) = 2 \times 30^2 + 50 \times 30 + 7\,200 = 1\,800 + 1\,500 + 7\,200 = 10\,500\ \text{€}.$

4. Le coût marginal

Le coût marginal

Le coût marginal est le coût supplémentaire entraîné par la production d’une unité de plus. Pour la $q$ -ième unité, c’est la différence entre le coût total de $q$ articles et celui de $q-1$ articles :

$C_m(q) = C(q) - C(q-1)$

Autrement dit : « combien me coûte le tout dernier article que je décide de fabriquer ? »

Calculer le coût marginal d'une unité

Pour obtenir le coût marginal de la $q$ -ième unité produite :

Calculer le coût total avec cette unité : $C(q)$ .
Calculer le coût total sans cette unité, c’est-à-dire pour $q-1$ articles : $C(q-1)$ .
Soustraire : $C_m(q) = C(q) - C(q-1)$ .

Le coût de la 21e portion

Un food-truck a un coût total $C(q) = 0{,}5q^2 + 10q + 200$ (en euros) pour $q$ burgers. Le coût marginal de la 21e portion est :

$C(21) = 0{,}5 \times 21^2 + 10 \times 21 + 200 = 220{,}5 + 210 + 200 = 630{,}5\ \text{€},$ $C(20) = 0{,}5 \times 20^2 + 10 \times 20 + 200 = 200 + 200 + 200 = 600\ \text{€},$ $C_m(21) = 630{,}5 - 600 = 30{,}5\ \text{€}.$

La 21e portion coûte donc $30{,}5\ \text{€}$ à produire.

Coût marginal n'est pas coût total

Le coût marginal est une différence, pas le coût total d’un coup.

FAUX : pour la 21e portion ci-dessus, répondre $C(21) = 630{,}5\ \text{€}$ comme s’il s’agissait du coût marginal.
VRAI : le coût marginal est l’écart entre deux unités : $C_m(21) = C(21) - C(20) = 630{,}5 - 600 = 30{,}5\ \text{€}$ .

Et attention au rang : la $q$ -ième unité, c’est le passage de $q-1$ à $q$ articles.

5. Le coût moyen unitaire

Le coût moyen unitaire

Le coût moyen unitaire $C_M(q)$ indique combien revient en moyenne un seul article quand on en produit $q$ . On divise le coût total par la quantité produite :

$C_M(q) = \frac{C(q)}{q}$

Pourquoi le coût moyen baisse... puis remonte

Le coût fixe est le même que tu produises peu ou beaucoup. En produisant plus, tu le répartis (on dit que tu l’amortis) sur davantage d’articles : le coût moyen baisse d’abord. Mais si tu produis trop, les coûts variables (heures supplémentaires, matières) finissent par l’emporter et le coût moyen remonte. Entre les deux, il existe une quantité où le coût moyen est le plus bas : c’est la production la plus économique par article.

Trouver la quantité qui minimise le coût moyen

Le coût moyen $C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}$ est une fonction de $q$ : sa courbe descend, atteint un minimum, puis remonte.

Écrire l’expression de $C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}$ .
Repérer le minimum de cette fonction (par lecture du tableau de valeurs, de la courbe, ou de la calculatrice).
La quantité $q^\star$ qui donne ce minimum est la production optimale : c’est là que chaque article coûte le moins cher.
Conclure en donnant cette quantité et le coût moyen minimal correspondant.

Au minimum, coût moyen et coût marginal se rejoignent

Tant que produire une unité de plus coûte moins que le coût moyen actuel, ce coût moyen continue de baisser. Dès que l’unité supplémentaire coûte plus que la moyenne, le coût moyen remonte.

Le coût moyen est donc minimal exactement là où le coût marginal rattrape le coût moyen. C’est un bon moyen de vérifier la production optimale que tu as trouvée.

Ne pas oublier de diviser par la quantité

Le coût moyen est un coût par article, donc une division par $q$ .

FAUX : annoncer que « le coût moyen pour $200$ articles est de $15\,400\ \text{€}$ » alors que $15\,400\ \text{€}$ est le coût total.
VRAI : il faut diviser par la quantité : $C_M(200) = \dfrac{15\,400}{200} = 77\ \text{€}$ par article.

Un coût moyen unitaire s’exprime toujours en euros par article (ou par portion), jamais en euros tout court.

Vérifier l'ordre de grandeur

Avant de conclure, vérifie que ton résultat « sonne juste » :

une valeur acquise est toujours plus grande que le capital placé ;
un taux mensuel est toujours plus petit que le taux annuel ;
un coût moyen unitaire est bien plus petit que le coût total (puisqu’on l’a divisé par la quantité) ;
au minimum du coût moyen, coût moyen et coût marginal sont égaux.

Si l’un de ces repères n’est pas respecté, c’est qu’il y a une erreur de calcul.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Du taux annuel au taux mensuel

Un livret affiche un taux annuel de $4{,}8\,\%$ . La banque utilise un taux mensuel proportionnel. Calcule ce taux mensuel, puis vérifie ton résultat en revenant au taux annuel.

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Le capital disponible après 6 mois

Tu mets de côté $1\,200\ \text{€}$ sur un livret pour t'acheter une paire de sneakers. La banque verse un intérêt simple au taux annuel de $3\,\%$ . Tu laisses ton argent placé pendant $6$ mois. Quel sera le capital disponible (la valeur acquise) au bout de ces $6$ mois ?

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Coût moyen pour 100 puis 200 articles

Une petite imprimerie produit des tee-shirts personnalisés. Le coût total de production, en euros, pour $q$ tee-shirts est $C(q) = 0{,}1q^2 + 12q + 9\,000$ (le terme $9\,000$ correspond aux machines, un coût fixe). Calcule le coût moyen unitaire pour une production de $100$ tee-shirts, puis pour une production de $200$ tee-shirts, et commente l'évolution.

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Le coût de la 51e unité produite

Un atelier de menuiserie produit des étagères. Le coût total de production, en euros, pour $q$ étagères est donné par $C(q) = 0{,}5q^2 + 10q + 200$ . Calcule le coût marginal de la $51^\text{e}$ étagère, c'est-à-dire le coût supplémentaire entraîné par la production de cette étagère.

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Retrouver le taux annuel du livret

Tu places $800\ \text{€}$ d'économies sur un livret pour t'offrir une nouvelle paire de sneakers. La banque verse un intérêt simple. Au bout de $9$ mois, le livret t'a rapporté exactement $27\ \text{€}$ d'intérêts. Quel est le taux annuel proposé par ce livret ?

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Crédit smartphone : taux mensuel et intérêts

Pour t'acheter un smartphone, un magasin te propose un crédit de $450\ \text{€}$ au taux annuel de $6\,\%$ . Les intérêts sont calculés avec le taux mensuel proportionnel, en intérêt simple, sur la durée du crédit. Tu rembourses au bout de $4$ mois. Calcule d'abord le taux mensuel proportionnel, puis le montant des intérêts dus, et enfin la somme totale à rembourser.

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Food-truck : trois coûts pour la 40e portion

Un food-truck vend des bowls. Le coût total de production, en euros, pour $q$ bowls est $C(q) = 0{,}2q^2 + 8q + 500$ (le terme $500$ correspond aux frais fixes de la journée). Pour une production de $40$ bowls, calcule successivement le coût total $C(40)$ , le coût marginal du $40^\text{e}$ bowl, puis le coût moyen unitaire $C_M(40)$ . Compare ensuite le coût marginal et le coût moyen.

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Bonus

La production optimale de l'atelier

Un atelier fabrique des paniers garnis. Le coût total de production, en euros, pour $q$ paniers est $C(q) = 2q^2 + 50q + 7\,200$ . Le coût moyen unitaire est $C_M(q) = \frac{C(q)}{q}$ . Détermine la quantité de paniers qui rend ce coût moyen unitaire minimal, puis conclus sur la production la plus économique de l'atelier (le coût par panier le plus bas).

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Questions fréquentes

Comment calculer un intérêt simple ?

On multiplie le capital placé par le taux annuel écrit en décimale, puis par la durée exprimée en années. Par exemple, un capital de 1200 euros placé à 3 pour cent pendant 6 mois rapporte un intérêt de 1200 multiplié par 0,03 puis par 0,5, soit 18 euros. La valeur acquise est ensuite le capital augmenté de cet intérêt.

Comment passer d'un taux annuel à un taux mensuel proportionnel ?

Un taux mensuel proportionnel s'obtient en divisant le taux annuel par 12, car une année compte 12 mois. Par exemple, un taux annuel de 4,8 pour cent correspond à un taux mensuel proportionnel de 4,8 divisé par 12, soit 0,4 pour cent par mois.

Quelle est la différence entre coût marginal et coût moyen ?

Le coût marginal est le coût supplémentaire entraîné par la production d'une unité de plus : c'est la différence entre le coût total de cette unité et le coût total de la précédente. Le coût moyen unitaire est le coût total divisé par le nombre d'unités produites : il indique combien revient en moyenne un seul article.