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Première pro

Le prix d'abonnement qui maximise le revenu

Énoncé

Un créateur propose un abonnement mensuel à sa plateforme de streaming. Une étude estime que si le prix de l'abonnement est de pp euros par mois (avec 0≤p≤300 \le p \le 30), alors le nombre d'abonnés sera de (600−20p)(600 - 20p). Le revenu mensuel, en euros, est le produit du prix par le nombre d'abonnés : R(p)=p×(600−20p)R(p) = p \times (600 - 20p). Déterminer le prix pp qui rend le revenu maximal, le nombre d'abonnés correspondant, puis le revenu maximal.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par développer l'expression : R(p)=p×(600−20p)=600p−20p2R(p) = p \times (600 - 20p) = 600p - 20p^2. Tu obtiens une fonction du second degré, plus facile à dériver.
  2. Dérive terme par terme : la dérivée de 600p600p est 600600, et celle de −20p2-20p^2 est −20×2p=−40p-20 \times 2p = -40p. Donc R′(p)=600−40pR'(p) = 600 - 40p.
  3. Résous R′(p)=0R'(p) = 0, c'est-à-dire 600−40p=0600 - 40p = 0, pour trouver le prix. Ensuite, remplace cette valeur dans (600−20p)(600 - 20p) pour le nombre d'abonnés, puis dans R(p)R(p) pour le revenu.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Mettre le revenu sous forme développée

    Le revenu est le produit du prix par le nombre d'abonnés : R(p)=p×(600−20p).R(p) = p \times (600 - 20p). On développe pour obtenir une fonction du second degré, plus simple à dériver : R(p)=p×600−p×20p=600p−20p2.R(p) = p \times 600 - p \times 20p = 600p - 20p^2.

  2. 2. Choisir la stratégie

    Le revenu est maximal là où la dérivée R′(p)R'(p) s'annule en changeant de signe (la tangente y est horizontale). On calcule donc R′(p)R'(p), on résout R′(p)=0R'(p) = 0, puis on vérifie qu'il s'agit d'un maximum.

  3. 3. Calculer la dérivée

    On dérive terme par terme. La dérivée de 600p600p est 600600. La dérivée de p2p^2 est 2p2p, donc la dérivée de −20p2-20p^2 est −20×2p=−40p.-20 \times 2p = -40p. Donc R′(p)=600−40p.R'(p) = 600 - 40p.

  4. 4. Résoudre R prime de p égale zéro

    On cherche où la dérivée s'annule : 600−40p=0600 - 40p = 0, donc 40p=60040p = 600, d'où p=60040=15.p = \dfrac{600}{40} = 15. La dérivée s'annule pour un prix de 1515 € par mois.

  5. 5. Vérifier que c'est un maximum

    Le coefficient devant pp dans R′(p)R'(p) vaut −40<0-40 < 0 : la dérivée est positive avant 1515 et négative après. Vérification : R′(10)=600−400=200>0R'(10) = 600 - 400 = 200 > 0 et R′(20)=600−800=−200<0.R'(20) = 600 - 800 = -200 < 0. La fonction passe de croissante à décroissante : il s'agit bien d'un maximum.

  6. 6. Calculer le nombre d'abonnés et le revenu maximal

    Pour p=15p = 15, le nombre d'abonnés est 600−20×15=600−300=300600 - 20 \times 15 = 600 - 300 = 300 abonnés. Le revenu maximal est R(15)=600×15−20×152=9000−20×225=9000−4500=4500R(15) = 600 \times 15 - 20 \times 15^2 = 9000 - 20 \times 225 = 9000 - 4500 = 4500 €. Le revenu est maximal pour un abonnement à 15 € par mois : le créateur compte alors 300 abonnés et encaisse 4500 € par mois.
Réponse finale
R(p)=600p−20p2 ;R′(p)=600−40p=0⇒p=15 euros ;300 abonnes ;R(15)=4500 euros (maximum)R(p) = 600p - 20p^2 \ ;\quad R'(p) = 600 - 40p = 0 \Rightarrow p = 15 \ \text{euros} \ ;\quad 300 \ \text{abonnes} \ ;\quad R(15) = 4500 \ \text{euros (maximum)}
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