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Rêves Vision
Première pro

La production qui maximise le bénéfice

Énoncé

Un food-truck vend des burgers maison. Son bénéfice quotidien, en euros, pour xx burgers vendus est modélisé par B(x)=−2x2+120x−800B(x) = -2x^2 + 120x - 800, pour 0≤x≤600 \le x \le 60. Déterminer le nombre de burgers à vendre pour que le bénéfice soit maximal, puis calculer ce bénéfice maximal.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Comprendre la stratégie

    Le bénéfice est maximal là où la dérivée s'annule en changeant de signe (la tangente y est horizontale). On calcule donc B′(x)B'(x), on résout B′(x)=0B'(x) = 0, puis on vérifie qu'il s'agit bien d'un maximum.

  2. 2. Calculer la dérivée

    On dérive terme par terme : la dérivée de −2x2-2x^2 est −2×2x=−4x-2 \times 2x = -4x, celle de 120x120x est 120120, celle de −800-800 est 00. Donc B′(x)=−4x+120.B'(x) = -4x + 120.

  3. 3. Résoudre B prime de x égale zéro

    On cherche où la pente s'annule : −4x+120=0-4x + 120 = 0, donc −4x=−120-4x = -120, d'où x=−120−4=30.x = \frac{-120}{-4} = 30. La dérivée s'annule pour x=30x = 30 burgers.

  4. 4. Vérifier que c'est un maximum

    Le coefficient devant xx dans B′(x)B'(x) vaut −4<0-4 < 0 : la dérivée est positive avant 3030 et négative après. Vérification : B′(20)=−80+120=40>0B'(20) = -80 + 120 = 40 > 0 et B′(40)=−160+120=−40<0.B'(40) = -160 + 120 = -40 < 0. La fonction passe de croissante à décroissante : il s'agit bien d'un maximum.

  5. 5. Calculer le bénéfice maximal

    On remplace xx par 3030 dans BB : B(30)=−2×302+120×30−800=−2×900+3600−800=−1800+3600−800=1000B(30) = -2 \times 30^2 + 120 \times 30 - 800 = -2 \times 900 + 3600 - 800 = -1800 + 3600 - 800 = 1000 €. Le food-truck atteint son bénéfice maximal de 1000 € en vendant 30 burgers par jour.
Réponse finale
B′(x)=−4x+120=0⇒x=30 burgers ;B(30)=1000 euros (maximum)B'(x) = -4x + 120 = 0 \Rightarrow x = 30 \ \text{burgers} \ ;\quad B(30) = 1000 \ \text{euros (maximum)}
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