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Rêves Vision
Première pro

La taille de commande qui minimise le coût moyen

Énoncé

Un atelier floque des tee-shirts pour des associations. Pour une commande de xx tee-shirts (avec 5≤x≤905 \le x \le 90), le coût moyen d'un tee-shirt, en euros, est modélisé par g(x)=0,02x2−2x+60g(x) = 0{,}02x^2 - 2x + 60. Déterminer le nombre de tee-shirts qui rend ce coût moyen minimal, puis calculer ce coût moyen minimal.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Comprendre la stratégie

    Le coût moyen est minimal là où la dérivée g′(x)g'(x) s'annule en changeant de signe (la tangente y est horizontale). On calcule donc g′(x)g'(x), on résout g′(x)=0g'(x) = 0, puis on vérifie qu'il s'agit bien d'un minimum en étudiant le signe de la dérivée.

  2. 2. Calculer la dérivée

    On dérive terme par terme. La dérivée de x2x^2 est 2x2x, donc la dérivée de 0,02x20{,}02x^2 est 0,02×2x=0,04x0{,}02 \times 2x = 0{,}04x. La dérivée de −2x-2x est −2-2. La dérivée de la constante 6060 est 00. Donc g′(x)=0,04x−2.g'(x) = 0{,}04x - 2.

  3. 3. Résoudre g prime de x égale zéro

    On cherche où la dérivée s'annule : 0,04x−2=00{,}04x - 2 = 0, donc 0,04x=20{,}04x = 2, d'où x=20,04=50.x = \dfrac{2}{0{,}04} = 50. La dérivée s'annule pour x=50x = 50 tee-shirts.

  4. 4. Vérifier que c'est un minimum

    Le coefficient devant xx dans g′(x)g'(x) vaut 0,04>00{,}04 > 0 : la dérivée est négative avant 5050 et positive après. Vérification : g′(30)=0,04×30−2=1,2−2=−0,8<0g'(30) = 0{,}04 \times 30 - 2 = 1{,}2 - 2 = -0{,}8 < 0 et g′(70)=0,04×70−2=2,8−2=0,8>0.g'(70) = 0{,}04 \times 70 - 2 = 2{,}8 - 2 = 0{,}8 > 0. La fonction passe de décroissante à croissante : il s'agit bien d'un minimum.

  5. 5. Calculer le coût moyen minimal

    On remplace xx par 5050 dans gg : g(50)=0,02×502−2×50+60=0,02×2500−100+60=50−100+60=10g(50) = 0{,}02 \times 50^2 - 2 \times 50 + 60 = 0{,}02 \times 2500 - 100 + 60 = 50 - 100 + 60 = 10 €. Le coût moyen est minimal pour une commande de 50 tee-shirts : chaque tee-shirt revient alors à 10 € en moyenne.
Réponse finale
g′(x)=0,04x−2=0⇒x=50 tee-shirts ;g(50)=10 euros (minimum)g'(x) = 0{,}04x - 2 = 0 \Rightarrow x = 50 \ \text{tee-shirts} \ ;\quad g(50) = 10 \ \text{euros (minimum)}
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