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Rêves Vision
Première pro

Tableau de variations d'un bénéfice

Énoncé

Une boutique de sneakers estime que son bénéfice quotidien, en euros, pour xx paires vendues (avec 0≤x≤800 \le x \le 80) est donné par B(x)=−x2+80x−700B(x) = -x^2 + 80x - 700. Étudier le signe de la dérivée B′(x)B'(x), puis dresser le tableau de variations de BB sur [0 ; 80][0\,;\,80].
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par dériver terme par terme : la dérivée de −x2-x^2 est −2x-2x, celle de 80x80x est 8080, celle de −700-700 est 00.
  2. Pour connaître le signe de B′(x)=−2x+80B'(x) = -2x + 80, résous l'équation B′(x)=0B'(x) = 0, puis teste un nombre avant et un nombre après la valeur trouvée.
  3. B′B' est une fonction du premier degré dont le coefficient de xx est négatif : elle est positive avant son point d'annulation, négative après. La fonction BB monte puis descend.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer la dérivée

    On dérive terme par terme : la dérivée de −x2-x^2 est −2x-2x, celle de 80x80x est 8080, celle de −700-700 est 00. Donc B′(x)=−2x+80.B'(x) = -2x + 80.

  2. 2. Résoudre l'équation B prime de x égale zéro

    On cherche où la dérivée s'annule : −2x+80=0-2x + 80 = 0, donc −2x=−80-2x = -80, d'où x=−80−2=40.x = \frac{-80}{-2} = 40. La dérivée s'annule pour x=40x = 40 paires.

  3. 3. Étudier le signe de la dérivée

    Le coefficient devant xx vaut −2-2, il est négatif : la fonction B′B' est décroissante. On en déduit que B′(x)>0B'(x) > 0 pour x<40x < 40 et B′(x)<0B'(x) < 0 pour x>40x > 40. Vérification : B′(0)=80>0B'(0) = 80 > 0 et B′(80)=−160+80=−80<0.B'(80) = -160 + 80 = -80 < 0.

  4. 4. En déduire les variations

    Quand B′(x)>0B'(x) > 0, BB est croissante : BB croît donc sur [0 ; 40][0\,;\,40]. Quand B′(x)<0B'(x) < 0, BB est décroissante : BB décroît sur [40 ; 80][40\,;\,80]. Au point x=40x = 40, le bénéfice atteint un maximum, égal à B(40)=−402+80×40−700=−1600+3200−700=900B(40) = -40^2 + 80 \times 40 - 700 = -1600 + 3200 - 700 = 900 €.

  5. 5. Dresser le tableau de variations

    On résume : ligne du signe de B′(x)B'(x) (++ jusqu'à 4040, puis −-), ligne des variations de BB (flèche montante jusqu'à la valeur 900900, puis flèche descendante). Le bénéfice croît de 0 à 40 paires, atteint un maximum de 900 € pour 40 paires vendues, puis décroît jusqu'à 80 paires.
Réponse finale
B′(x)=−2x+80 ;B′(x)=0 pour x=40 ;B↗ sur [0 ; 40] puis B↘ sur [40 ; 80] ;maximum B(40)=900 eurosB'(x) = -2x + 80 \ ;\quad B'(x) = 0 \text{ pour } x = 40 \ ;\quad B \nearrow \text{ sur } [0\,;\,40] \text{ puis } B \searrow \text{ sur } [40\,;\,80] \ ;\quad \text{maximum } B(40) = 900 \ \text{euros}
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