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Première pro

Le prix d'abonnement streaming optimal

Énoncé

Une créatrice lance une chaîne de streaming avec un abonnement mensuel. Une étude montre que si l'abonnement est vendu pp euros, le nombre d'abonnés attendus est 80−4p80 - 4p (plus c'est cher, moins il y a d'abonnés). La recette mensuelle, en euros, est donc R(p)=p×(80−4p)R(p) = p \times (80 - 4p). 1) Développer R(p)R(p) et vérifier que sa parabole est tournée vers le bas. 2) Donner la forme factorisée de R(p)R(p) et ses racines. 3) Déterminer le prix d'abonnement qui rend la recette maximale, puis calculer cette recette maximale.

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  1. 1. Développer la recette

    On distribue pp dans la parenthèse : R(p)=p×(80−4p)=80p−4p2.R(p) = p \times (80 - 4p) = 80p - 4p^2. En rangeant dans l'ordre du second degré : R(p)=−4p2+80p.R(p) = -4p^2 + 80p. C'est une fonction polynôme de degré 2 avec a=−4a = -4. Comme a=−4<0a = -4 < 0, la parabole est tournée vers le bas : la recette passe donc par un maximum.

  2. 2. Mettre R(p) sous forme factorisée

    Dans R(p)=p×(80−4p)R(p) = p \times (80 - 4p), on factorise 80−4p80 - 4p par −4-4 pour faire apparaître les racines : 80−4p=−4(p−20).80 - 4p = -4(p - 20). Donc R(p)=−4 p (p−20).R(p) = -4\,p\,(p - 20).

  3. 3. Lire les racines

    Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul. On résout R(p)=0R(p) = 0 : soit p=0p = 0, soit p−20=0p - 20 = 0 c'est-à-dire p=20p = 20. Les racines sont donc 00 et 2020. Concrètement : à 00 € l'abonnement est gratuit (recette nulle), et à 2020 € il ne reste plus aucun abonné (car 80−4×20=080 - 4 \times 20 = 0).

  4. 4. Trouver le prix optimal (abscisse du sommet)

    La parabole étant tournée vers le bas, son sommet est le point le plus haut : il donne la recette maximale. L'axe de symétrie passe au milieu des racines, donc l'abscisse du sommet est la moyenne des racines : psommet=0+202=202=10.p_{\text{sommet}} = \dfrac{0 + 20}{2} = \dfrac{20}{2} = 10. Le prix d'abonnement qui maximise la recette est donc 1010 €.

  5. 5. Calculer la recette maximale et conclure

    On remplace pp par 1010 dans la recette : R(10)=−4×10×(10−20)=−40×(−10)=400.R(10) = -4 \times 10 \times (10 - 20) = -40 \times (-10) = 400. La recette maximale vaut donc 400400 €. Vérification : à 1010 €, il y a 80−4×10=4080 - 4 \times 10 = 40 abonnés, et 10×40=40010 \times 40 = 400 €, ce qui confirme le résultat. En fixant l'abonnement à 10 €, la créatrice obtient la recette maximale de 400 € par mois.
Réponse finale
R(p)=−4p2+80p=−4 p (p−20), a=−4<0Racines : 0 et 20;psommet=0+202=10 (euros)R(10)=−40×(−10)=400 € (recette maximale)R(p) = -4p^2 + 80p = -4\,p\,(p - 20), \ a = -4 < 0 \\ \text{Racines : } 0 \ \text{et} \ 20 \quad ; \quad p_{\text{sommet}} = \dfrac{0 + 20}{2} = 10 \ \text{(euros)} \\ R(10) = -40 \times (-10) = 400 \ \text{€ (recette maximale)}
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