Première pro · Chapitre 5

Fonctions polynômes de degré 2

Cours de Première pro sur les fonctions polynômes de degré 2 : parabole tournée vers le haut ou le bas, sommet, axe de symétrie, racines et signe sous forme factorisée. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Quelle dimension donner à un enclos pour qu’il ait la plus grande surface possible ? Quel prix fixer pour un billet de spectacle afin de récolter le plus d’argent ? Beaucoup de problèmes de maximum ou de minimum se cachent derrière une même courbe : la parabole. C’est la signature des fonctions polynômes de degré 2. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à reconnaître leur allure, à lire leurs racines sous forme factorisée et à repérer leur sommet.

Ce que tu sauras faire

Je sais reconnaître une fonction polynôme de degré 2 et le coefficient $a$ .
Je sais dire si une parabole est tournée vers le haut ou vers le bas.
Je sais tester si un nombre est une racine d’un polynôme.
Je sais lire les racines d’un polynôme écrit sous forme factorisée.
Je sais dresser le signe d’un polynôme factorisé.
Je sais repérer le sommet et l’axe de symétrie pour trouver un maximum ou un minimum.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Dès qu’une grandeur monte puis redescend (ou l’inverse), une parabole n’est jamais loin.

Une boutique baisse son prix : elle vend plus, mais chaque vente rapporte moins. Sa recette finit par passer par un maximum.
Avec une longueur fixe de grillage, l’aire d’un enclos atteint un maximum pour une certaine dimension.
La trajectoire d’un ballon de basket qui retombe dans le panier dessine, elle aussi, une parabole.

Savoir lire le sommet d’une parabole, c’est savoir trouver « le meilleur réglage » : le prix qui rapporte le plus, la taille qui occupe le plus de place.

Fonction polynôme de degré 2

Une fonction polynôme de degré 2 (on dit aussi fonction du second degré) est une fonction qui peut s’écrire sous la forme $f(x) = ax^2 + bx + c,$ où $a$ , $b$ et $c$ sont des nombres fixés et où $a \neq 0$ .

Le nombre $a$ est le coefficient du terme de degré 2 : c’est lui qui commande tout le comportement de la fonction. La condition $a \neq 0$ est essentielle : si $a = 0$ , il n’y a plus de terme en $x^2$ et la fonction n’est plus du second degré.

Par exemple, $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$ est une fonction polynôme de degré 2 avec $a = 3$ , $b = -5$ et $c = 2$ .

La parabole

Dans un repère, la courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 s’appelle une parabole. C’est une courbe symétrique, en forme de « U » ou de « U renversé ».

Tous les points de la parabole se répartissent de part et d’autre d’une droite verticale, l’axe de symétrie, qui passe par le point le plus bas ou le plus haut de la courbe.

Sens de la parabole : tout dépend du signe de a

Le coefficient $a$ donne immédiatement l’allure de la parabole.

Si $a > 0$ , la parabole est tournée vers le haut (en forme de sourire). La fonction descend puis remonte : elle passe par un minimum.
Si $a < 0$ , la parabole est tournée vers le bas (en forme de cloche). La fonction monte puis redescend : elle passe par un maximum.

Mémo : $a$ positif, la parabole est positive d’esprit (elle sourit). $a$ négatif, elle fait la moue.

Racine d'un polynôme

Une racine d’une fonction polynôme $f$ est un nombre $r$ pour lequel $f(r) = 0.$

Graphiquement, une racine est une abscisse où la parabole coupe l’axe des abscisses (l’axe horizontal). Une fonction du second degré peut avoir deux racines, une seule, ou aucune.

Tester si un nombre est une racine

Pour vérifier si un nombre $r$ est une racine de $f$ :

Je calcule $f(r)$ en remplaçant $x$ par $r$ partout dans l’expression.
Je regarde le résultat :
- si $f(r) = 0$ , alors $r$ est une racine ;
- si $f(r) \neq 0$ , alors $r$ n’est pas une racine.

Exemple : est-ce que $2$ est une racine de $f(x) = x^2 - x - 2$  ? $f(2) = 2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0$ , donc $2$ est bien une racine.

Forme factorisée et lecture directe des racines

Quand une fonction du second degré est écrite sous forme factorisée $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2),$ ses racines sont $r_1$ et $r_2$ : ce sont les valeurs qui annulent chacun des facteurs.

En effet, un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. Donc $f(x) = 0$ revient à $x - r_1 = 0$ ou $x - r_2 = 0$ , c’est-à-dire $x = r_1$ ou $x = r_2$ .

Par exemple, pour $f(x) = (x - 3)(x + 5)$ , on lit directement les racines : $x = 3$ (qui annule $x - 3$ ) et $x = -5$ (qui annule $x + 5$ , car $-5 + 5 = 0$ ).

Le piège du signe dans la factorisation

Attention au signe quand tu lis une racine dans un facteur.

FAUX : « dans $f(x) = (x + 5)(x - 3)$ , les racines sont $5$ et $-3$ ». On a juste recopié les nombres avec leur signe, c’est une erreur très fréquente.
VRAI : on cherche ce qui annule chaque facteur. $x + 5 = 0$ donne $x = -5$ , et $x - 3 = 0$ donne $x = 3$ . Les racines sont donc $-5$ et $3$ .

Le bon réflexe : une racine est l’opposé du nombre qui accompagne le $x$ dans le facteur. Le facteur $(x + 5)$ donne la racine $-5$ .

Étudier le signe d'un polynôme factorisé

On veut savoir quand $f(x)$ est positif, négatif ou nul, à partir de $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)$ avec $r_1 < r_2$ .

Je place les racines $r_1$ et $r_2$ sur une droite, dans l’ordre croissant.
Je m’appuie sur l’allure de la parabole donnée par le signe de $a$ $a$ :
- le polynôme s’annule en $r_1$ et en $r_2$ ;
- entre les deux racines, $f(x)$ est du signe opposé à $a$ ;
- à l’extérieur des deux racines, $f(x)$ est du même signe que $a$ .

Autrement dit : sur l’intervalle entre les racines, la parabole est « du côté contraire » de ce que dit $a$ ; ailleurs, elle est « du côté de $a$ ».

Signe de f(x) = (x - 2)(x - 8)

Ici $f(x) = (x - 2)(x - 8)$ : on peut lire $a = 1$ (le coefficient devant $x^2$ une fois développé est $1$ ), donc $a > 0$ et la parabole est tournée vers le haut. Les racines sont $2$ et $8$ .

Pour $x$ entre $2$ et $8$ : $f(x)$ est du signe opposé à $a$ , donc négatif.
Pour $x$ inférieur à $2$ ou supérieur à $8$ : $f(x)$ est du même signe que $a$ , donc positif.
En $x = 2$ et $x = 8$ : $f(x) = 0$ .

On peut le vérifier avec un point : $f(5) = (5 - 2)(5 - 8) = 3 \times (-3) = -9$ , qui est bien négatif (et $5$ est entre $2$ et $8$ ).

Sommet et axe de symétrie

Le sommet d’une parabole est son point le plus bas (si $a > 0$ ) ou le plus haut (si $a < 0$ ). Sa hauteur donne le minimum ou le maximum de la fonction.

L’axe de symétrie est la droite verticale qui passe par le sommet et coupe la parabole en deux moitiés identiques.

L'axe de symétrie passe au milieu des racines

Quand la parabole a deux racines $r_1$ et $r_2$ , l’axe de symétrie passe exactement au milieu des deux racines. L’abscisse du sommet est donc la moyenne des racines : $x_{\text{sommet}} = \frac{r_1 + r_2}{2}.$

Pour obtenir la hauteur du sommet, on remplace ensuite cette abscisse dans la fonction : on calcule $f\left(x_{\text{sommet}}\right)$ .

C’est la méthode reine pour trouver un maximum (aire la plus grande, recette la plus forte) ou un minimum (coût le plus faible).

Sommet de f(x) = (x - 2)(x - 8)

Les racines sont $2$ et $8$ . L’abscisse du sommet est leur milieu : $x_{\text{sommet}} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5.$

La hauteur du sommet vaut $f(5) = (5 - 2)(5 - 8) = 3 \times (-3) = -9$ .

Comme $a > 0$ , la parabole est tournée vers le haut : le sommet est le point le plus bas. Le minimum de la fonction est donc $-9$ , atteint pour $x = 5$ .

Ne pas confondre l'abscisse et la hauteur du sommet

FAUX : « le maximum de la recette vaut $15$ ». On a donné l’abscisse du sommet (la valeur de $x$ ), pas la hauteur.
VRAI : la valeur $x = 15$ indique où se trouve le sommet (par exemple le prix qui maximise la recette). Le maximum lui-même, c’est la hauteur $f(15)$ qu’il faut encore calculer.

Le réflexe : l’axe de symétrie donne un $x$ ; le maximum (ou minimum) est la valeur de $f$ en ce $x$ . Toujours finir par remplacer dans la fonction.

Pour ne plus se tromper

Le signe de $a$ d’abord : il décide de tout (sens de la parabole, maximum ou minimum).
Une racine se lit en cherchant ce qui annule un facteur, pas en recopiant le nombre.
L’axe de symétrie est au milieu des racines : pense à une moyenne.
Le sommet se trouve en deux temps : d’abord son abscisse (le $x$ ), puis sa hauteur (le $f(x)$ ).

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Le nombre 3 est-il une racine ?

Soit la fonction polynôme de degré 2 définie par $f(x) = 2x^2 - 5x - 3$ . Le nombre $3$ est-il une racine de $f$  ? Justifier par un calcul.

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Les racines d'un jeu Roblox

Tu développes un mini-jeu sur Roblox. Un indicateur de popularité, calculé par la plateforme, est modélisé par la fonction polynôme de degré 2 écrite sous forme factorisée $f(x) = (x - 7)(x + 3)$ , où $x$ est le nombre de semaines depuis la sortie du jeu. Déterminer les racines de $f$ , c'est-à-dire les valeurs de $x$ pour lesquelles cet indicateur s'annule.

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Vers le haut ou vers le bas ?

On considère les deux fonctions polynômes de degré 2 suivantes : $f(x) = -2x^2 + 5x - 1$ et $g(x) = 3x^2 - x + 4$ . Pour chacune, indiquer si sa parabole est tournée vers le haut ou vers le bas, puis préciser si la fonction passe par un maximum ou par un minimum.

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L'aire maximale d'un enclos

Un éleveur dispose de $40$ m de grillage pour construire un enclos rectangulaire. On note $x$ (en mètres) la largeur de l'enclos. Comme le tour de l'enclos mesure $40$ m, la largeur et la longueur ont pour somme $20$ m : la longueur vaut donc $20 - x$ . L'aire de l'enclos (en m $^2$ ) est alors $A(x) = x(20 - x)$ . 1) Vérifier que $A$ est une fonction polynôme de degré 2 et que sa parabole est tournée vers le bas. 2) Déterminer les racines, puis l'abscisse du sommet. 3) En déduire la largeur qui rend l'aire maximale et la valeur de cette aire.

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Le bénéfice d'un produit en boutique

Une boutique de sneakers lance un nouveau modèle. Selon le nombre de paires vendues, son bénéfice mensuel (en milliers d'euros) est donné par $f(x) = (x - 2)(x - 8)$ , où $x$ est le nombre de paires vendues exprimé en centaines (donc $x = 3$ signifie 300 paires). 1) Déterminer les racines de $f$ . 2) Étudier le signe de $f(x)$ . 3) En déduire, en nombre de paires, à partir de combien de ventes la boutique devient bénéficiaire.

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Le prix d'abonnement streaming optimal

Une créatrice lance une chaîne de streaming avec un abonnement mensuel. Une étude montre que si l'abonnement est vendu $p$ euros, le nombre d'abonnés attendus est $80 - 4p$ (plus c'est cher, moins il y a d'abonnés). La recette mensuelle, en euros, est donc $R(p) = p \times (80 - 4p)$ . 1) Développer $R(p)$ et vérifier que sa parabole est tournée vers le bas. 2) Donner la forme factorisée de $R(p)$ et ses racines. 3) Déterminer le prix d'abonnement qui rend la recette maximale, puis calculer cette recette maximale.

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Le bénéfice d'un atelier d'impression 3D

Un atelier fabrique des figurines sur imprimante 3D. Son bénéfice mensuel, en centaines d'euros, est modélisé par la fonction $f(x) = -2(x - 3)(x - 15)$ , où $x$ est le nombre de figurines produites exprimé en dizaines (donc $x = 4$ correspond à 40 figurines). 1) Indiquer le coefficient $a$ et le sens de la parabole. 2) Déterminer les racines de $f$ . 3) Étudier le signe de $f(x)$ et en déduire pour combien de figurines l'atelier est bénéficiaire. 4) Déterminer la production qui rend le bénéfice maximal et calculer ce bénéfice maximal.

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Bonus

Le prix du billet qui rapporte le plus

Un lycée organise un spectacle de fin d'année. Une étude montre que si le billet est vendu $p$ euros, le nombre de spectateurs attendus est $600 - 20p$ (plus le billet est cher, moins il y a de monde). La recette, en euros, est donc $R(p) = p \times (600 - 20p)$ . 1) Développer $R(p)$ et vérifier que sa parabole est tournée vers le bas. 2) Écrire $R(p)$ sous forme factorisée et donner ses racines. 3) Déterminer le prix du billet qui rend la recette maximale, et calculer cette recette maximale.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Comment savoir si une parabole est tournée vers le haut ou vers le bas ?

On regarde le coefficient devant le terme au carré, appelé a. Si a est positif, la parabole est tournée vers le haut (elle a la forme d'un sourire) et la fonction passe par un minimum. Si a est négatif, la parabole est tournée vers le bas (forme d'une cloche) et la fonction passe par un maximum.

Qu'est-ce qu'une racine d'une fonction polynôme de degré 2 ?

Une racine est une valeur de x pour laquelle la fonction vaut zéro, c'est-à-dire un endroit où la parabole coupe l'axe horizontal. Quand la fonction est écrite sous forme factorisée comme un produit de deux facteurs, on lit directement les racines : chaque facteur qui s'annule donne une racine.

Comment trouver le sommet d'une parabole à partir des racines ?

Le sommet se trouve sur l'axe de symétrie de la parabole. Quand on connaît les deux racines, l'axe de symétrie passe juste au milieu des deux racines : il suffit de calculer la moyenne des deux racines. On remplace ensuite cette valeur dans la fonction pour obtenir la hauteur du sommet, qui est le maximum ou le minimum recherché.

Exercices corrigés

Le nombre 3 est-il une racine ?

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