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Rêves Vision
Première pro

L'aire maximale d'un enclos

Énoncé

Un éleveur dispose de 4040 m de grillage pour construire un enclos rectangulaire. On note xx (en mètres) la largeur de l'enclos. Comme le tour de l'enclos mesure 4040 m, la largeur et la longueur ont pour somme 2020 m : la longueur vaut donc 20−x20 - x. L'aire de l'enclos (en m2^2) est alors A(x)=x(20−x)A(x) = x(20 - x). 1) Vérifier que AA est une fonction polynôme de degré 2 et que sa parabole est tournée vers le bas. 2) Déterminer les racines, puis l'abscisse du sommet. 3) En déduire la largeur qui rend l'aire maximale et la valeur de cette aire.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Développe d'abord A(x)=x(20−x)A(x) = x(20 - x) pour repérer le coefficient aa devant x2x^2 et le signe de la parabole.
  2. La forme x(20−x)x(20 - x) est un produit : il est nul quand x=0x = 0 ou quand 20−x=020 - x = 0.
  3. Le sommet est au milieu des racines : calcule la moyenne 0+202\frac{0 + 20}{2}, puis remplace cette valeur de xx dans A(x)A(x) pour obtenir l'aire.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître une fonction du second degré

    On développe pour voir le degré : A(x)=x(20−x)=20x−x2A(x) = x(20 - x) = 20x - x^2, c'est-à-dire A(x)=−x2+20xA(x) = -x^2 + 20x. C'est bien une fonction polynôme de degré 2, avec un coefficient a=−1a = -1. Comme a=−1<0a = -1 < 0, la parabole est tournée vers le bas : la fonction passe donc par un maximum, ce qui est rassurant pour chercher une aire maximale.

  2. 2. Lire les racines sur la forme factorisée

    La forme factorisée A(x)=x(20−x)A(x) = x(20 - x) donne directement les racines. On résout A(x)=0A(x) = 0 : soit x=0x = 0, soit 20−x=020 - x = 0 c'est-à-dire x=20x = 20. Les racines sont donc 00 et 2020 (ce sont les largeurs pour lesquelles l'aire est nulle : un enclos « aplati »).

  3. 3. Trouver l'axe de symétrie (abscisse du sommet)

    L'axe de symétrie passe au milieu des deux racines. L'abscisse du sommet est la moyenne des racines : xsommet=0+202=202=10.x_{\text{sommet}} = \frac{0 + 20}{2} = \frac{20}{2} = 10. La largeur qui donne l'aire maximale est donc x=10x = 10 m.

  4. 4. Calculer l'aire maximale et conclure

    On remplace xx par 1010 dans l'aire : A(10)=10×(20−10)=10×10=100.A(10) = 10 \times (20 - 10) = 10 \times 10 = 100. L'aire maximale vaut donc 100100 m2^2. On remarque que la longueur 20−10=1020 - 10 = 10 m est égale à la largeur : l'enclos optimal est un carré de côté 1010 m. L'aire est maximale pour une largeur de 10 m et vaut alors 100 m2^2.
Réponse finale
A(x)=−x2+20x, a=−1<0 ⇒ parabole vers le basRacines : 0 et 20;xsommet=0+202=10A(10)=10×10=100 m2 (aire maximale, largeur 10 m)A(x) = -x^2 + 20x, \ a = -1 < 0 \ \Rightarrow \ \text{parabole vers le bas} \\ \text{Racines : } 0 \text{ et } 20 \quad ; \quad x_{\text{sommet}} = \frac{0 + 20}{2} = 10 \\ A(10) = 10 \times 10 = 100 \ \text{m}^2 \text{ (aire maximale, largeur } 10 \text{ m)}
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