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Rêves Vision
Première pro

Le bénéfice d'un atelier d'impression 3D

Énoncé

Un atelier fabrique des figurines sur imprimante 3D. Son bénéfice mensuel, en centaines d'euros, est modélisé par la fonction f(x)=−2(x−3)(x−15)f(x) = -2(x - 3)(x - 15), où xx est le nombre de figurines produites exprimé en dizaines (donc x=4x = 4 correspond à 40 figurines). 1) Indiquer le coefficient aa et le sens de la parabole. 2) Déterminer les racines de ff. 3) Étudier le signe de f(x)f(x) et en déduire pour combien de figurines l'atelier est bénéficiaire. 4) Déterminer la production qui rend le bénéfice maximal et calculer ce bénéfice maximal.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour le sens de la parabole, regarde seulement le signe de aa : ici a=−2<0a = -2 < 0, donc la parabole est tournée vers le bas (elle fait la moue) et la fonction passe par un maximum.
  2. Le facteur −2-2 ne peut jamais valoir 00 : pour trouver les racines, annule uniquement les facteurs (x−3)(x - 3) et (x−15)(x - 15).
  3. Règle du signe avec a<0a < 0 : f(x)f(x) est POSITIF entre les racines 33 et 1515, et NÉGATIF à l'extérieur. Pour le maximum, calcule d'abord le milieu des racines 3+152\dfrac{3 + 15}{2}, puis remplace cette valeur de xx dans ff.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Repérer le coefficient a et le sens de la parabole

    Une fois développé, le terme de degré 2 vient de −2×x×x=−2x2-2 \times x \times x = -2x^2, donc le coefficient aa vaut −2-2. Comme a=−2<0a = -2 < 0, la parabole est tournée vers le bas : la fonction passe par un maximum. Le bénéfice est alors positif entre les racines et négatif à l'extérieur.

  2. 2. Lire les racines sur la forme factorisée

    La fonction est déjà sous forme factorisée : f(x)=−2(x−3)(x−15)f(x) = -2(x - 3)(x - 15). Le facteur −2-2 ne s'annule jamais : un produit est nul si l'un des autres facteurs est nul. On résout : x−3=0x - 3 = 0 donne x=3x = 3, et x−15=0x - 15 = 0 donne x=15x = 15. Les racines sont donc x=3x = 3 et x=15x = 15 : ce sont les deux seuils où le bénéfice est nul.

  3. 3. Dresser le signe de f(x)

    On place les racines 33 et 1515 dans l'ordre croissant. D'après l'allure (parabole tournée vers le bas, a<0a < 0) : pour xx compris entre 33 et 1515, f(x)f(x) est positif (signe opposé à aa) ; pour xx inférieur à 33 ou supérieur à 1515, f(x)f(x) est négatif (même signe que aa). Vérification avec un point extérieur : f(0)=−2×(0−3)×(0−15)=−2×(−3)×(−15)=−90f(0) = -2 \times (0 - 3) \times (0 - 15) = -2 \times (-3) \times (-15) = -90, bien négatif puisque 00 est avant 33.

  4. 4. Interpréter le signe pour l'atelier

    Le bénéfice est positif quand 3<x<153 < x < 15, c'est-à-dire entre 33 et 1515 dizaines de figurines. En nombre de figurines, l'atelier est donc bénéficiaire pour une production entre 30 et 150 figurines par mois. En dessous de 3030 ou au-dessus de 150150 figurines, le bénéfice f(x)f(x) est négatif : l'atelier est en perte.

  5. 5. Trouver la production optimale (abscisse du sommet)

    La parabole étant tournée vers le bas, son sommet est le point le plus haut : il donne le bénéfice maximal. L'axe de symétrie passe au milieu des racines, donc l'abscisse du sommet est la moyenne des racines : xsommet=3+152=182=9.x_{\text{sommet}} = \dfrac{3 + 15}{2} = \dfrac{18}{2} = 9. La production optimale est donc x=9x = 9 dizaines, soit 9090 figurines.

  6. 6. Calculer le bénéfice maximal et conclure

    On remplace xx par 99 dans la fonction : f(9)=−2×(9−3)×(9−15)=−2×6×(−6)=−2×(−36)=72.f(9) = -2 \times (9 - 3) \times (9 - 15) = -2 \times 6 \times (-6) = -2 \times (-36) = 72. Le bénéfice maximal vaut donc 7272 centaines d'euros, soit 7 2007\,200 €. En produisant 90 figurines par mois, l'atelier atteint son bénéfice maximal de 7 200 €.
Réponse finale
a=−2<0 ⇒ parabole vers le bas (maximum)Racines : x=3 et x=15;f(x)>0 pour 3<x<15xsommet=3+152=9;f(9)=−2×6×(−6)=72 (soit 7 200 €)a = -2 < 0 \ \Rightarrow \ \text{parabole vers le bas (maximum)} \\ \text{Racines : } x = 3 \ \text{et} \ x = 15 \quad ; \quad f(x) > 0 \ \text{pour} \ 3 < x < 15 \\ x_{\text{sommet}} = \dfrac{3 + 15}{2} = 9 \quad ; \quad f(9) = -2 \times 6 \times (-6) = 72 \ \text{(soit } 7\,200 \ \text{€)}
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