Aller au contenu
Rêves Vision
Première pro

Le bénéfice d'un produit en boutique

Énoncé

Une boutique de sneakers lance un nouveau modèle. Selon le nombre de paires vendues, son bénéfice mensuel (en milliers d'euros) est donné par f(x)=(x−2)(x−8)f(x) = (x - 2)(x - 8), où xx est le nombre de paires vendues exprimé en centaines (donc x=3x = 3 signifie 300 paires). 1) Déterminer les racines de ff. 2) Étudier le signe de f(x)f(x). 3) En déduire, en nombre de paires, à partir de combien de ventes la boutique devient bénéficiaire.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La fonction est déjà factorisée : une racine, c'est la valeur de xx qui rend un facteur égal à 00.
  2. Pour le signe, commence par le coefficient aa : ici a=1>0a = 1 > 0, donc la parabole sourit (tournée vers le haut).
  3. Règle du signe : f(x)f(x) est négatif ENTRE les racines 22 et 88, et positif À L'EXTÉRIEUR. Le bénéfice positif correspond à x>8x > 8.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Lire les racines sur la forme factorisée

    La fonction est déjà sous forme factorisée : f(x)=(x−2)(x−8)f(x) = (x - 2)(x - 8). Un produit est nul si l'un des facteurs est nul. On résout : x−2=0x - 2 = 0 donne x=2x = 2, et x−8=0x - 8 = 0 donne x=8x = 8. Les racines sont donc x=2x = 2 et x=8x = 8 : ce sont les deux seuils de rentabilité (le bénéfice y est nul).

  2. 2. Repérer le sens de la parabole

    En développant, le terme de degré 2 serait x×x=x2x \times x = x^2, donc le coefficient aa vaut 11. Comme a=1>0a = 1 > 0, la parabole est tournée vers le haut. Le bénéfice est donc négatif entre les racines et positif à l'extérieur.

  3. 3. Dresser le signe de f(x)

    On place les racines 22 et 88 dans l'ordre croissant. D'après l'allure (parabole vers le haut) : pour xx compris entre 22 et 88, f(x)f(x) est négatif (signe opposé à aa) ; pour xx inférieur à 22 ou supérieur à 88, f(x)f(x) est positif (même signe que aa). On vérifie avec un point : f(5)=(5−2)(5−8)=3×(−3)=−9f(5) = (5 - 2)(5 - 8) = 3 \times (-3) = -9, bien négatif puisque 55 est entre 22 et 88.

  4. 4. Interpréter pour la boutique

    Le bénéfice f(x)f(x) est positif quand x>8x > 8, c'est-à-dire au-delà de 88 centaines de paires, soit plus de 800 paires vendues. (En dessous de 22 centaines, le modèle indiquerait aussi un signe positif, mais il s'agit de la phase de tout début de lancement, hors de la zone de déficit entre 200 et 800 paires.) Entre 200200 et 800800 paires, la boutique est déficitaire. À partir de 800 paires vendues par mois, la boutique devient bénéficiaire.
Réponse finale
Racines : x=2 et x=8f(x)>0 pour x<2 ou x>8,f(x)<0 pour 2<x<8Boutique beˊneˊficiaire aˋ partir de 800 paires vendues\text{Racines : } x = 2 \text{ et } x = 8 \\ f(x) > 0 \text{ pour } x < 2 \text{ ou } x > 8, \quad f(x) < 0 \text{ pour } 2 < x < 8 \\ \text{Boutique bénéficiaire à partir de } 800 \text{ paires vendues}
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Fonctions polynômes de degré 2 ← Retour au cours

À suivre