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Le prix du billet qui rapporte le plus

Énoncé

Un lycée organise un spectacle de fin d'année. Une étude montre que si le billet est vendu pp euros, le nombre de spectateurs attendus est 600−20p600 - 20p (plus le billet est cher, moins il y a de monde). La recette, en euros, est donc R(p)=p×(600−20p)R(p) = p \times (600 - 20p). 1) Développer R(p)R(p) et vérifier que sa parabole est tournée vers le bas. 2) Écrire R(p)R(p) sous forme factorisée et donner ses racines. 3) Déterminer le prix du billet qui rend la recette maximale, et calculer cette recette maximale.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par développer R(p)=p×(600−20p)R(p) = p \times (600 - 20p) pour repérer le coefficient devant p2p^2 et le signe de la parabole.
  2. Pour les racines, factorise 600−20p600 - 20p par −20-20 : tu obtiens R(p)=−20 p (p−30)R(p) = -20\,p\,(p - 30), un produit nul quand p=0p = 0 ou p=30p = 30.
  3. Le prix optimal est au milieu des racines : calcule 0+302\frac{0 + 30}{2}, puis remplace cette valeur de pp dans R(p)R(p) pour obtenir la recette maximale (attention : c'est la HAUTEUR du sommet, pas le prix).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Développer la recette

    On distribue pp dans la parenthèse : R(p)=p×(600−20p)=600p−20p2.R(p) = p \times (600 - 20p) = 600p - 20p^2. En rangeant dans l'ordre du second degré : R(p)=−20p2+600p.R(p) = -20p^2 + 600p. C'est une fonction polynôme de degré 2 avec a=−20a = -20. Comme a=−20<0a = -20 < 0, la parabole est tournée vers le bas : il existe bien un maximum, donc une recette qui ne peut pas être dépassée.

  2. 2. Mettre R(p) sous forme factorisée

    Dans R(p)=p×(600−20p)R(p) = p \times (600 - 20p), les deux facteurs sont déjà visibles. Pour faire apparaître clairement les racines, on factorise 600−20p600 - 20p par −20-20 : 600−20p=−20(p−30).600 - 20p = -20(p - 30). Donc R(p)=−20 p (p−30).R(p) = -20\,p\,(p - 30).

  3. 3. Lire les racines

    Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul. On résout R(p)=0R(p) = 0 : soit p=0p = 0, soit p−30=0p - 30 = 0 c'est-à-dire p=30p = 30. Les racines sont donc 00 et 3030. Cela a un sens concret : à 00 € le billet est gratuit (recette nulle), et à 3030 € plus personne ne vient (le nombre de spectateurs 600−20×30=0600 - 20 \times 30 = 0 est nul).

  4. 4. Trouver le prix optimal (abscisse du sommet)

    La parabole étant tournée vers le bas, son sommet est le point le plus haut : il donne la recette maximale. L'axe de symétrie passe au milieu des racines, donc l'abscisse du sommet est la moyenne des racines : psommet=0+302=302=15.p_{\text{sommet}} = \frac{0 + 30}{2} = \frac{30}{2} = 15. Le prix du billet qui maximise la recette est donc 1515 €.

  5. 5. Calculer la recette maximale et conclure

    On remplace pp par 1515 dans la recette : R(15)=−20×15×(15−30)=−300×(−15)=4500.R(15) = -20 \times 15 \times (15 - 30) = -300 \times (-15) = 4500. La recette maximale vaut donc 4 5004\,500 €. On peut vérifier : à 1515 €, il y a 600−20×15=300600 - 20 \times 15 = 300 spectateurs, et 15×300=4 50015 \times 300 = 4\,500 €, ce qui confirme le résultat. En vendant le billet 15 €, le lycée obtient la recette maximale de 4 500 €.
Réponse finale
R(p)=−20p2+600p=−20 p (p−30), a=−20<0Racines : 0 et 30;psommet=0+302=15 (euros)R(15)=−300×(−15)=4500 € (recette maximale)R(p) = -20p^2 + 600p = -20\,p\,(p - 30), \ a = -20 < 0 \\ \text{Racines : } 0 \text{ et } 30 \quad ; \quad p_{\text{sommet}} = \frac{0 + 30}{2} = 15 \ \text{(euros)} \\ R(15) = -300 \times (-15) = 4500 \ \text{€ (recette maximale)}
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