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Choisir l'emballage le plus économique

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Une boutique en ligne doit emballer un même produit dont le conditionnement occupe 80008000 cm3^3. Le service achats hésite entre deux formats de carton, tous deux de volume 80008000 cm3^3 : le format A est un cube d'arête 2020 cm ; le format B est un pavé droit de 4040 cm ×\times 2020 cm ×\times 1010 cm. Le carton est facturé au même prix par centimètre carré pour les deux formats. Vérifier que les deux formats ont bien le même volume, calculer l'aire totale de carton de chacun, puis recommander le format le plus économique en matière.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par vérifier le volume de chaque format avec la formule du pavé droit (V=L×ℓ×hV = L \times \ell \times h) : tu dois retrouver 80008000 cm3^3 dans les deux cas.
  2. Pour le cube, l'aire totale est A=6×a2A = 6 \times a^2. Pour le pavé, c'est A=2×(L×ℓ+L×h+ℓ×h)A = 2 \times (L \times \ell + L \times h + \ell \times h).
  3. À volume égal, le format le plus économique est celui dont l'aire totale (donc la quantité de carton) est la plus petite : compare tes deux résultats.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Vérifier le volume du format A (cube)

    Le format A est un cube d'arête a=20a = 20 cm. Son volume est VA=a3=203=20×20×20=8000V_A = a^3 = 20^3 = 20 \times 20 \times 20 = 8000 cm3^3. C'est bien le volume annoncé.

  2. 2. Vérifier le volume du format B (pavé)

    Le format B est un pavé droit de dimensions 4040 cm, 2020 cm et 1010 cm. Son volume est VB=40×20×10=8000V_B = 40 \times 20 \times 10 = 8000 cm3^3. Les deux formats ont donc exactement le même volume : ils contiennent la même chose.

  3. 3. Aire totale du format A (cube)

    Le cube a 66 faces carrées d'aire a2a^2 : AA=6×a2=6×202=6×400=2400A_A = 6 \times a^2 = 6 \times 20^2 = 6 \times 400 = 2400 cm2^2. Il faut donc 24002400 cm2^2 de carton pour le format A.

  4. 4. Aire totale du format B (pavé)

    Pour le pavé, on additionne l'aire des trois paires de faces : AB=2×(L×ℓ+L×h+ℓ×h)A_B = 2 \times (L \times \ell + L \times h + \ell \times h). On calcule l'intérieur : 40×20=80040 \times 20 = 800, 40×10=40040 \times 10 = 400, 20×10=20020 \times 10 = 200, dont la somme vaut 800+400+200=1400800 + 400 + 200 = 1400. Donc AB=2×1400=2800A_B = 2 \times 1400 = 2800 cm2^2.

  5. 5. Comparer et recommander

    On compare les deux aires de carton, à volume identique : AA=2400A_A = 2400 cm2^2 contre AB=2800A_B = 2800 cm2^2. Comme 2400<28002400 < 2800, le format A (le cube) utilise moins de carton pour contenir la même chose : il économise 2800−2400=4002800 - 2400 = 400 cm2^2 de carton par colis. À volume égal, on recommande donc le format A (cube) : c'est le plus économique en matière, ce qui réduit le coût d'emballage et améliore la marge.
Réponse finale
AA=6×202=2400 cm2 < AB=2×(800+400+200)=2800 cm2 ⇒ format A (cube)A_A = 6 \times 20^2 = 2400 \ \text{cm}^2 \ < \ A_B = 2 \times (800 + 400 + 200) = 2800 \ \text{cm}^2 \ \Rightarrow \ \text{format A (cube)}
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