Première pro · Chapitre 8

Géométrie dans l'espace

Cours de Première pro : volumes et aires des solides usuels et composés, conversions d'unités, agrandissement et réduction. Cartons, colis, silo, palette, exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Combien de cartons tiennent dans une réserve ? Quel format d’emballage utilise le moins de carton pour livrer la même quantité ? Quel volume de grain peut contenir un silo ? Toutes ces questions de logistique et de production se résolvent avec la géométrie dans l’espace : savoir calculer un volume, une aire, décomposer un solide composé et comprendre ce qui se passe quand on agrandit une forme. C’est un outil de tous les jours dans le tertiaire et la vente.

Mes objectifs

À la fin de ce chapitre, je sais :

reconnaître les solides usuels (pavé droit, cube, cylindre, cône, pyramide, boule) et donner leur volume ;
calculer une aire (aire d’une face, aire totale à filmer ou à peindre) ;
calculer le volume d’un solide composé en additionnant ou en soustrayant des solides usuels ;
utiliser le coefficient d’agrandissement ou de réduction : longueurs $\times k$ , aires $\times k^2$ , volumes $\times k^3$ ;
convertir les unités de longueur, d’aire et de volume sans me tromper.

À quoi ça sert ?

Dans la vente, la logistique ou la production, tu manipules sans arrêt des objets de l’espace : des colis à filmer, des palettes à remplir, une réserve à organiser, une cuve ou un silo à jauger.

Calculer un volume te dit combien ça contient (litres de boisson dans une cuve, grain dans un silo, place restante dans un camion). Calculer une aire te dit combien de matière il faut autour (film plastique, carton, peinture). Et comprendre l’agrandissement t’évite la grosse erreur du débutant : croire qu’un emballage deux fois plus grand coûte deux fois plus cher en matière ou contient deux fois plus, alors que la réalité est très différente.

Les solides usuels

Solide, face, arête, sommet

Un solide est un objet de l’espace qui occupe un certain volume. On décrit un solide par ses faces (les surfaces planes ou courbes qui le délimitent), ses arêtes (les segments où deux faces se rencontrent) et ses sommets (les points où les arêtes se rejoignent).

Le volume mesure la place occupée à l’intérieur (en cm³, m³, L…). L’aire d’une face mesure la surface d’une paroi (en cm², m²…).

Volumes des solides usuels

On note $V$ le volume.

Pavé droit (parallélépipède rectangle) de longueur $L$ , largeur $\ell$ , hauteur $h$ : $V = L \times \ell \times h$
Cube d’arête $a$ : c’est un pavé dont toutes les arêtes sont égales, donc $V = a \times a \times a = a^3$
Cylindre de rayon de base $r$ et de hauteur $h$ : $V = \pi \times r^2 \times h$
Cône de révolution de rayon de base $r$ et de hauteur $h$ : $V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$
Pyramide d’aire de base $B$ et de hauteur $h$ : $V = \frac{1}{3} \times B \times h$
Boule de rayon $r$ : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$

Cône et pyramide : toujours le tiers

Le cône et la pyramide « se terminent en pointe » : leur volume est le tiers de celui du solide « droit » qui aurait la même base et la même hauteur.

Un cône, c’est le tiers du cylindre de même base et même hauteur. Une pyramide, c’est le tiers du pavé (ou prisme) de même base et même hauteur. Quand tu vois une pointe, pense au facteur $\frac{1}{3}$ .

Aires dans l’espace

Aire totale d'un pavé et d'un cube

L’aire totale d’un solide est la somme des aires de toutes ses faces : c’est la surface de matière qu’il faut pour l’envelopper entièrement (film, carton, peinture).

Un pavé droit a 6 faces rectangulaires, égales deux à deux. Son aire totale est : $A = 2 \times (L \times \ell + L \times h + \ell \times h)$
Un cube d’arête $a$ a 6 faces carrées identiques d’aire $a^2$ : $A = 6 \times a^2$

Calculer l'aire totale d'un colis à filmer

On veut savoir combien de film ou de carton il faut pour recouvrir un colis.

Repérer la forme (cube, pavé) et ses dimensions, dans la même unité.
Calculer l’aire de chaque type de face.
Additionner toutes les faces (sans en oublier : un pavé en a 6).
Conclure avec l’unité d’aire (cm², m²).

Exemple : un colis cubique d’arête $a = 25$ cm. Son aire totale vaut $A = 6 \times 25^2 = 6 \times 625 = 3750$ cm². Il faut donc au moins $3750$ cm² de film pour l’envelopper.

Solides composés

Solide composé

Un solide composé est un solide obtenu en assemblant plusieurs solides usuels (par exemple un cylindre surmonté d’un cône pour un silo), ou en creusant un solide dans un autre (par exemple un pavé percé d’un trou cylindrique).

Calculer le volume d'un solide composé

Décomposer le solide en solides usuels que l’on sait calculer (cylindre, cône, pavé…).
Calculer séparément le volume de chaque morceau, avec sa propre formule.
Additionner les volumes si les morceaux sont collés l’un sur l’autre ; soustraire si un morceau est creusé dans l’autre.
Donner le résultat avec l’unité de volume et, si demandé, un arrondi.

Exemple : un silo est formé d’un cylindre de rayon $r = 1{,}5$ m et de hauteur $4$ m, surmonté d’un cône de même rayon et de hauteur $2$ m.

Volume du cylindre : $V_1 = \pi \times 1{,}5^2 \times 4 = \pi \times 2{,}25 \times 4 = 9\pi$ m³.

Volume du cône : $V_2 = \frac{1}{3} \times \pi \times 1{,}5^2 \times 2 = \frac{1}{3} \times \pi \times 2{,}25 \times 2 = 1{,}5\pi$ m³.

Volume total : $V = V_1 + V_2 = 9\pi + 1{,}5\pi = 10{,}5\pi \approx 33{,}0$ m³.

Conversions d’unités

Convertir longueurs, aires et volumes

On change d’unité de longueur de 10 en 10 ( $1$ m $= 10$ dm $= 100$ cm).

Pour les aires, chaque rang vaut $10^2 = 100$ : $1$ m² $= 100$ dm² $= 10\,000$ cm².
Pour les volumes, chaque rang vaut $10^3 = 1000$ : $1$ m³ $= 1000$ dm³ $= 1\,000\,000$ cm³.

Lien très utile avec les litres : $1$ L $= 1$ dm³, donc $1$ m³ $= 1000$ L et $1$ L $= 1000$ cm³.

Le réflexe litre - dm cube

Pour passer d’un volume à une contenance en litres, ramène-toi aux décimètres cubes : un récipient d’un volume de $1$ dm³ contient exactement $1$ L. Ainsi une cuve de $0{,}5$ m³ contient $0{,}5 \times 1000 = 500$ L.

Agrandissement et réduction

Effet d'un agrandissement ou d'une réduction

Quand on agrandit ou on réduit un solide en multipliant toutes ses longueurs par un même coefficient $k$ (avec $k > 0$ ) :

les longueurs sont multipliées par $k$ ;
les aires sont multipliées par $k^2$ ;
les volumes sont multipliés par $k^3$ .

Si $k > 1$ , c’est un agrandissement ; si $0 < k < 1$ , c’est une réduction.

Doubler un carton

Un petit cube d’arête $10$ cm a pour volume $V = 10^3 = 1000$ cm³, soit $1$ L.

On fabrique un cube deux fois plus grand : ici $k = 2$ . Son arête est $10 \times 2 = 20$ cm, et son volume est multiplié par $k^3 = 2^3 = 8$ : $V' = 1000 \times 8 = 8000 \text{ cm}^3 = 8 \text{ L}.$ On vérifie directement : $20^3 = 8000$ cm³. Un emballage deux fois plus grand contient donc huit fois plus, pas deux fois plus.

Le piège du « deux fois plus grand »

FAUX : « Je double les dimensions du carton, donc je double le volume (et la quantité de carton). »

VRAI : si on multiplie toutes les longueurs par $k = 2$ , l’aire (donc le carton utilisé) est multipliée par $k^2 = 4$ et le volume par $k^3 = 8$ . Doubler les dimensions multiplie le volume par $8$ , pas par $2$ .

Retiens la règle : longueurs $\times k$ , aires $\times k^2$ , volumes $\times k^3$ . C’est l’erreur la plus fréquente du chapitre.

Les autres pièges à éviter

Mélanger les unités : avant tout calcul, convertir toutes les longueurs dans la même unité (tout en cm, ou tout en m).
Oublier le $\frac{1}{3}$ du cône ou de la pyramide : sans le tiers, on trouve le volume du cylindre ou du prisme complet, soit trois fois trop.
Confondre rayon et diamètre : dans les formules du cylindre et du cône, $r$ est le rayon ; si l’énoncé donne le diamètre, il faut le diviser par $2$ .
Confondre aire et volume : une aire s’exprime en unité au carré (cm²), un volume en unité au cube (cm³). Un résultat en litres est toujours un volume.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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L'aire de film pour un colis cubique

Avant expédition, un colis en forme de cube d'arête $25$ cm doit être entièrement recouvert de film plastique. Calculer l'aire totale à filmer, en centimètres carrés.

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Le volume d'un carton pour remplir une palette

Dans l'entrepôt, un carton a la forme d'un pavé droit de longueur $60$ cm, de largeur $40$ cm et de hauteur $50$ cm. Pour préparer le chargement d'une palette, le magasinier a besoin de connaître le volume d'un carton. Calculer ce volume en centimètres cubes, puis le convertir en litres.

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Repeindre un présentoir de boutique

Pour rafraîchir sa boutique de sneakers, un vendeur veut repeindre un présentoir en forme de pavé droit de longueur $80$ cm, de largeur $30$ cm et de hauteur $120$ cm. Toutes les faces extérieures, y compris le dessus et le dessous, reçoivent une couche de peinture. Calculer l'aire totale à peindre, en centimètres carrés.

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Combien de cartons dans la réserve

La réserve d'une boutique a la forme d'un pavé droit de $3$ m de longueur, $2{,}4$ m de largeur et $2{,}1$ m de hauteur. On veut la remplir complètement avec des cartons cubiques d'arête $30$ cm, rangés bien alignés en colonnes et en rangées. Combien de cartons peut-on stocker au maximum ?

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La contenance d'une cuve à boisson

Un food-truck est équipé d'une cuve cylindrique pour la boisson maison, de rayon $0{,}6$ m et de hauteur $1{,}5$ m. Le gérant veut connaître la contenance de la cuve. Calculer le volume de la cuve en mètres cubes (valeur exacte en fonction de $\pi$ ), puis donner la contenance en litres, arrondie au litre.

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Le volume d'un silo (cylindre et cône)

Un silo de stockage est formé d'un cylindre de rayon $1{,}5$ m et de hauteur $4$ m, surmonté d'un cône de même rayon $1{,}5$ m et de hauteur $2$ m. Calculer le volume total du silo. Donner d'abord la valeur exacte en fonction de $\pi$ , puis une valeur approchée au dixième de mètre cube.

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Bonus

Choisir l'emballage le plus économique

Une boutique en ligne doit emballer un même produit dont le conditionnement occupe $8000$ cm $^3$ . Le service achats hésite entre deux formats de carton, tous deux de volume $8000$ cm $^3$ : le format A est un cube d'arête $20$ cm ; le format B est un pavé droit de $40$ cm $\times$ $20$ cm $\times$ $10$ cm. Le carton est facturé au même prix par centimètre carré pour les deux formats. Vérifier que les deux formats ont bien le même volume, calculer l'aire totale de carton de chacun, puis recommander le format le plus économique en matière.

Débloquer l'exercice

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Le maxi-cornet de glace

Le cornet classique d'un glacier a la forme d'un cône de rayon $3$ cm et de hauteur $12$ cm. Pour l'été, le glacier lance un maxi-cornet dont toutes les dimensions sont multipliées par $1{,}5$ . D'abord, calculer le volume du cornet classique (valeur exacte en fonction de $\pi$ ). Ensuite, en utilisant la propriété d'agrandissement, déterminer le volume du maxi-cornet (valeur exacte, puis valeur approchée au dixième de cm $^3$ ).

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Comment calculer le volume d'un pavé droit (carton) ?

On multiplie les trois dimensions du pavé : longueur fois largeur fois hauteur. Il faut d'abord convertir toutes les longueurs dans la même unité. Par exemple, un carton de 60 cm sur 40 cm sur 50 cm a un volume de 60 fois 40 fois 50, soit 120 000 centimètres cubes, ce qui fait 120 litres. Le résultat s'exprime en unité de longueur au cube.

Comment calculer le volume d'un solide composé comme un silo ?

Un solide composé se décompose en solides usuels que l'on sait calculer. Pour un silo formé d'un cylindre surmonté d'un cône, on calcule séparément le volume du cylindre et celui du cône, puis on additionne les deux résultats. La même méthode s'applique pour un solide creusé, sauf que l'on soustrait au lieu d'additionner.

Que devient le volume quand on agrandit un solide ?

Quand on multiplie toutes les longueurs d'un solide par un coefficient k, les aires sont multipliées par k au carré et le volume est multiplié par k au cube. Par exemple, si on double toutes les dimensions d'un carton, son volume est multiplié par 2 au cube, soit 8, et non par 2. C'est pour cela qu'un grand emballage contient beaucoup plus qu'on ne le croit.