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Rêves Vision
Première pro

Le maxi-cornet de glace

Énoncé

Le cornet classique d'un glacier a la forme d'un cône de rayon 33 cm et de hauteur 1212 cm. Pour l'été, le glacier lance un maxi-cornet dont toutes les dimensions sont multipliées par 1,51{,}5. D'abord, calculer le volume du cornet classique (valeur exacte en fonction de π\pi). Ensuite, en utilisant la propriété d'agrandissement, déterminer le volume du maxi-cornet (valeur exacte, puis valeur approchée au dixième de cm3^3).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Volume d'un cône : V=13×π×r2×hV = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h. Garde π\pi en facteur, c'est plus simple pour la suite.
  2. Quand on multiplie toutes les longueurs par un coefficient kk, le volume est multiplié par k3k^3, pas par kk. Ici k=1,5k = 1{,}5.
  3. Calcule k3=1,53k^3 = 1{,}5^3, multiplie le volume classique par ce nombre, puis remplace π\pi par 3,143{,}14 seulement à la fin.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Volume du cornet classique

    Le cornet classique est un cône de rayon r=3r = 3 cm et de hauteur h=12h = 12 cm, donc : V=13×π×r2×h=13×π×32×12V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 12. Comme 32=93^2 = 9 et 9×12=1089 \times 12 = 108, on a V=13×π×108=36πV = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 108 = 36\pi cm3^3. C'est la valeur exacte du volume classique.

  2. 2. Identifier le coefficient d'agrandissement

    Toutes les longueurs du maxi-cornet sont multipliées par le même coefficient k=1,5k = 1{,}5 : c'est un agrandissement (car k>1k > 1). D'après la propriété du cours, les longueurs sont multipliées par kk, mais les volumes sont multipliés par k3k^3.

  3. 3. Calculer le coefficient sur le volume

    On calcule k3=1,53=1,5×1,5×1,5k^3 = 1{,}5^3 = 1{,}5 \times 1{,}5 \times 1{,}5. Comme 1,5×1,5=2,251{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25, puis 2,25×1,5=3,3752{,}25 \times 1{,}5 = 3{,}375, on obtient k3=3,375k^3 = 3{,}375. Le volume du maxi-cornet est donc 3,3753{,}375 fois celui du cornet classique.

  4. 4. Volume exact du maxi-cornet

    On multiplie le volume classique par k3k^3 : V′=36π×3,375=121,5πV' = 36\pi \times 3{,}375 = 121{,}5\pi cm3^3. On peut vérifier directement avec r′=3×1,5=4,5r' = 3 \times 1{,}5 = 4{,}5 cm et h′=12×1,5=18h' = 12 \times 1{,}5 = 18 cm : V′=13×π×4,52×18=13×π×20,25×18=121,5πV' = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 4{,}5^2 \times 18 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 20{,}25 \times 18 = 121{,}5\pi cm3^3, ce qui confirme le résultat.

  5. 5. Valeur approchée et conclusion

    On remplace π\pi : V′=121,5×π≈121,5×3,14159≈381,7V' = 121{,}5 \times \pi \approx 121{,}5 \times 3{,}14159 \approx 381{,}7 cm3^3. Le maxi-cornet contient donc bien plus que 1,51{,}5 fois la glace du cornet classique : il en contient 3,3753{,}375 fois plus. Multiplier les dimensions par 1,5 multiplie le volume par 1,5 au cube, soit 3,375 : le maxi-cornet a un volume d'environ 381,7 cm3^3.
Réponse finale
V′=36π×1,53=36π×3,375=121,5π≈381,7 cm3V' = 36\pi \times 1{,}5^3 = 36\pi \times 3{,}375 = 121{,}5\pi \approx 381{,}7 \ \text{cm}^3
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