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Rêves Vision
Première pro

Quelle production pour un bénéfice d'au moins 500 euros

Énoncé

Un petit atelier de bougies parfumées trace son bénéfice BB (en euros) en fonction du nombre xx de bougies vendues. La courbe est une droite qui passe par les points (50 ; 0)(50\,;\,0), (150 ; 500)(150\,;\,500) et (250 ; 1000)(250\,;\,1000). L'atelier ne peut pas produire plus de 300300 bougies par mois. La gérante vise un bénéfice d'au moins 500500 €. Résoudre graphiquement l'inéquation B(x)≥500B(x) \geq 500 et donner l'intervalle de production correspondant.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. « Au moins 500500 € » veut dire B(x)≥500B(x) \geq 500 : trace (ou imagine) la droite horizontale y=500y = 500 et regarde où la courbe est au-dessus.
  2. Trouve d'abord l'abscisse du point où la courbe touche la droite y=500y = 500 : c'est le début de ton intervalle.
  3. N'oublie pas la limite de production : xx ne peut pas dépasser 300300, donc l'intervalle se termine à 300300.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Traduire « au moins 500 euros »

    « Un bénéfice d'au moins 500500 € » se traduit par B(x)≥500B(x) \geq 500. La droite de référence est ici la droite horizontale y=500y = 500. On cherche les valeurs de xx pour lesquelles la courbe est au-dessus (ou au niveau) de cette droite.

  2. 2. Résoudre d'abord l'égalité B(x) = 500

    On commence par repérer où la courbe atteint 500500 €. D'après le graphique, le point (150 ; 500)(150\,;\,500) est sur la courbe : la droite y=500y = 500 coupe la courbe en x=150x = 150. C'est la frontière de notre intervalle.

  3. 3. Repérer où la courbe est au-dessus de y = 500

    La courbe monte quand xx augmente. À droite de x=150x = 150, elle est au-dessus de la droite y=500y = 500 : le bénéfice y dépasse 500500 €. À gauche de 150150, elle est en dessous. Le bénéfice est donc d'au moins 500500 € à partir de 150150 bougies.

  4. 4. Tenir compte de la capacité de production

    L'atelier ne peut pas dépasser 300300 bougies par mois : la quantité xx ne peut donc pas aller au-delà de 300300. L'intervalle solution est limité à droite par cette capacité. On obtient l'intervalle [150 ; 300][150\,;\,300].

  5. 5. Conclure

    Les solutions de B(x)≥500B(x) \geq 500 compatibles avec l'atelier sont les valeurs de xx entre 150150 et 300300, bornes comprises : x∈[150 ; 300]x \in [150\,;\,300]. Pour un bénéfice d'au moins 500 €, la gérante doit vendre entre 150 et 300 bougies par mois.
Réponse finale
B(x)≥500  ⟺  x∈[150 ; 300] bougiesB(x) \geq 500 \iff x \in [150\,;\,300] \ \text{bougies}
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