Première pro · Chapitre 4

Résolution graphique

Cours de Première pro : résoudre graphiquement une équation f(x) = c, une intersection de courbes f(x) = g(x) et une inéquation. Seuil de rentabilité, tarifs, exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Combien de menus le food-truck doit-il vendre pour ne plus travailler à perte ? À partir de quelle quantité l’atelier devient-il bénéficiaire ? Quel forfait téléphonique est le plus avantageux selon le nombre d’heures de streaming ? Toutes ces questions se lisent directement sur un graphique, sans calcul compliqué. Résoudre graphiquement, c’est savoir lire les bonnes valeurs sur les bons axes : c’est l’un des réflexes les plus utiles du programme de Première pro.

Mes objectifs

À la fin de ce chapitre, je sais :

résoudre graphiquement une équation du type $f(x) = c$ (où $c$ est un nombre) ;
résoudre graphiquement une équation du type $f(x) = g(x)$ en repérant l’intersection de deux courbes ;
résoudre graphiquement une inéquation du type $f(x) \leq c$ (ou $\geq c$ ) et donner l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle ;
repérer un seuil de rentabilité et comparer deux offres à partir de leurs courbes.

À quoi ça sert ?

Tu n’auras pas toujours la formule d’une fonction sous la main : très souvent, en entreprise, tu disposes seulement d’un graphique (coût en fonction de la quantité produite, bénéfice selon le nombre de ventes, prix selon la durée d’un abonnement…).

Savoir le lire te permet de répondre à des questions très concrètes : « Combien d’articles dois-je vendre pour rembourser mes frais ? », « À partir de quand est-ce que je gagne de l’argent ? », « Quel abonnement de streaming est le moins cher si je regarde 15 heures par mois ? ». Pas besoin de résoudre une équation à la main : tout est sur le dessin, il faut juste lire au bon endroit.

Lire une valeur sur un graphique

Abscisse et ordonnée d'un point

Sur un repère, un point est repéré par deux nombres : son abscisse (la valeur lue sur l’axe horizontal) et son ordonnée (la valeur lue sur l’axe vertical).

Pour un point $M$ de coordonnées $(x\,;\,y)$ : $x$ est l’abscisse, $y$ est l’ordonnée.

Dans nos problèmes, l’axe horizontal porte souvent la quantité (nombre d’articles, durée…) et l’axe vertical porte un montant (un coût, une recette, un bénéfice, en euros).

Le bon réflexe : « je pars de la donnée connue »

Pour ne jamais te tromper de sens de lecture :

si on te donne une quantité (un nombre sur l’axe horizontal) et qu’on demande le montant : tu montes verticalement jusqu’à la courbe, puis tu lis l’ordonnée à gauche ;
si on te donne un montant (un nombre sur l’axe vertical) et qu’on demande la quantité : tu te déplaces horizontalement jusqu’à la courbe, puis tu lis l’abscisse en bas.

En résumé : on part toujours de la valeur connue, on rejoint la courbe, puis on lit sur l’autre axe.

Résoudre graphiquement une équation f(x) = c

Résoudre f(x) = c

Résoudre $f(x) = c$ , c’est chercher toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe de $f$ atteint la hauteur $c$ .

Tracer (ou repérer) la droite horizontale d’équation $y = c$ .
Marquer les points d’intersection entre cette droite et la courbe de $f$ .
Pour chaque point d’intersection, lire l’abscisse sur l’axe horizontal.
Écrire la ou les solutions.

S’il n’y a aucun point d’intersection, alors l’équation n’a pas de solution.

Lire une quantité pour un coût donné

Une courbe donne le coût $C$ (en euros) de fabrication en fonction de la quantité $x$ d’articles produits. On cherche la quantité pour laquelle le coût vaut $300$ €, c’est-à-dire on résout $C(x) = 300$ .

On trace la droite horizontale $y = 300$ .
Elle coupe la courbe en un point dont l’abscisse se lit $x = 40$ .

On en déduit qu’il faut produire $40$ articles pour un coût de $300$ €. La solution de l’équation $C(x) = 300$ est $x = 40$ .

Résoudre graphiquement f(x) = g(x) : l’intersection de deux courbes

Intersection de deux courbes

Résoudre $f(x) = g(x)$ , c’est chercher les valeurs de $x$ pour lesquelles les deux courbes se croisent (elles ont alors la même ordonnée).

Les solutions sont les abscisses des points d’intersection des deux courbes.

Trouver un seuil de rentabilité

Le seuil de rentabilité est la quantité à partir de laquelle la recette rattrape le coût. Avant ce seuil l’activité perd de l’argent, après ce seuil elle en gagne.

Tracer (ou repérer) la courbe de recette $R$ et la courbe de coût $C$ sur le même repère.
Marquer leur point d’intersection : c’est le point où $R(x) = C(x)$ .
Lire l’abscisse de ce point : c’est le seuil de rentabilité (la quantité cherchée).
Conclure : à droite de ce point, la recette est au-dessus du coût, donc l’activité est bénéficiaire.

Seuil de rentabilité d'un food-truck

Pour un food-truck, la recette $R(x)$ et le coût $C(x)$ (en euros) sont tracés en fonction du nombre $x$ de menus vendus dans la journée. Les deux courbes se croisent au point d’abscisse $x = 60$ .

On en déduit que le seuil de rentabilité est de $60$ menus : en dessous de $60$ menus la journée est déficitaire, à partir de $60$ menus elle devient bénéficiaire.

Résoudre graphiquement une inéquation

Résoudre f(x) ≤ c (ou f(x) ≥ c)

Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l’inégalité vraie. On donne la réponse sous forme d’intervalle.

Résoudre d’abord l’équation $f(x) = c$ : on obtient la ou les abscisses où la courbe coupe la droite $y = c$ (ce sont les « frontières »).
Repérer où la courbe est en dessous de la droite $y = c$ : là, $f(x) \leq c$ . (Pour $f(x) \geq c$ , on cherche au contraire où la courbe est au-dessus.)
Lire sur l’axe horizontal l’intervalle des $x$ correspondants.

Mémo : « en dessous de la droite » = $f(x)$ plus petit que $c$ ; « au-dessus de la droite » = $f(x)$ plus grand que $c$ .

Pour quelles quantités le bénéfice est-il positif ?

Une courbe donne le bénéfice $B(x)$ (en euros) en fonction du nombre $x$ d’articles vendus. On cherche quand le bénéfice est positif, c’est-à-dire on résout $B(x) \geq 0$ (la droite est ici l’axe horizontal $y = 0$ ).

La courbe coupe l’axe horizontal en $x = 50$ .
Elle est au-dessus de l’axe (donc $B(x) \geq 0$ ) pour les valeurs de $x$ comprises entre $50$ et $200$ .

On en déduit que le bénéfice est positif pour $x$ appartenant à l’intervalle $[50\,;\,200]$ : il faut vendre au moins $50$ articles pour que l’activité rapporte de l’argent.

Comparer deux offres, c'est comparer deux courbes

Pour savoir quelle offre (A ou B) est la plus avantageuse, on trace les deux courbes de prix sur le même repère :

l’offre la moins chère est celle dont la courbe est en dessous de l’autre ;
on repère le point où les deux courbes se croisent : c’est là que le classement s’inverse ;
on lit alors l’intervalle de valeurs où l’offre choisie est la plus basse.

Les pièges à éviter

Confondre l’abscisse et l’ordonnée. Quand on cherche une quantité (« combien d’articles ? »), la réponse se lit sur l’axe horizontal, pas sur l’axe vertical.
- FAUX : « le coût vaut $300$ €, je lis $300$ comme réponse ». ❌
- VRAI : on part de $300$ € sur l’axe vertical, on rejoint la courbe, puis on lit la quantité sur l’axe horizontal (par exemple $40$ articles). ✅
Confondre « au-dessus » et « en dessous ». Pour résoudre $f(x) \leq c$ , on cherche là où la courbe est en dessous de la droite $y = c$ , jamais au-dessus.
- FAUX : « $B(x) \geq 0$ donc je prends la partie de la courbe au-dessous de l’axe ». ❌
- VRAI : $B(x) \geq 0$ signifie bénéfice positif, donc la partie de la courbe au-dessus de l’axe horizontal. ✅
Oublier les bornes de l’intervalle. Une inéquation a presque toujours pour réponse un intervalle (par exemple $[50\,;\,200]$ ), pas une seule valeur. Cette valeur unique, c’est la solution de l’équation, pas de l’inéquation.
Mal lire entre deux graduations. On repère d’abord ce que vaut un carreau (par exemple $1$ carreau $= 10$ €), sinon toutes les lectures sont fausses.

Vérifier sa lecture

Une lecture graphique n’est jamais parfaitement précise : c’est normal de répondre « environ ». Pour te rassurer, vérifie toujours que ta réponse a un sens concret : une quantité ne peut pas être négative, un seuil de rentabilité doit tomber entre les deux extrémités du graphique, et l’ordre de grandeur doit être crédible (un food-truck ne vend pas $10\,000$ menus par jour).

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Combien de clips pour atteindre 12 Go

Sur une console, un joueur enregistre des clips de ses meilleures actions. L'espace occupé $T$ (en Go) sur le disque est représenté en fonction du nombre $x$ de clips enregistrés. Sur l'axe horizontal on lit le nombre de clips $x$ , sur l'axe vertical l'espace occupé en Go. La courbe est une droite qui passe par les points $(0\,;\,2)$ , $(20\,;\,12)$ et $(40\,;\,22)$ : le système occupe déjà $2$ Go au départ, puis chaque clip ajoute du stockage. Le joueur a réservé $12$ Go pour ses clips. Résoudre graphiquement l'équation $T(x) = 12$ pour savoir combien de clips il peut enregistrer.

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Lire la quantité pour un coût de 300 euros

Dans un atelier de sérigraphie de tee-shirts, le coût de fabrication $C$ (en euros) est représenté en fonction du nombre $x$ de tee-shirts produits. Sur l'axe horizontal on lit la quantité $x$ , sur l'axe vertical on lit le coût en euros. La courbe passe par les points $(0\,;\,100)$ , $(20\,;\,200)$ et $(40\,;\,300)$ . Le responsable dispose d'un budget de $300$ €. Résoudre graphiquement l'équation $C(x) = 300$ pour savoir combien de tee-shirts il peut faire produire.

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Pour quelles ventes le bénéfice est-il positif

Une boutique de sneakers édite chaque mois la courbe de son bénéfice $B$ (en euros) en fonction du nombre $x$ de paires vendues. La courbe coupe l'axe horizontal (l'axe des abscisses, là où $B = 0$ ) aux points d'abscisses $x = 20$ et $x = 160$ ; entre ces deux valeurs, la courbe est au-dessus de l'axe. Déterminer graphiquement pour quelles quantités de paires vendues le bénéfice est positif, c'est-à-dire résoudre $B(x) \geq 0$ .

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Le seuil de rentabilité d'un atelier de customisation

Un jeune lance un atelier de customisation de sneakers. Il facture chaque paire personnalisée $25$ €. Sur un même repère, on trace en fonction du nombre $x$ de paires customisées dans le mois : la recette $R(x) = 25x$ et le coût total $C(x) = 10x + 450$ (en euros), où $450$ € correspond aux frais fixes du mois (loyer du local, peintures, matériel) et $10$ € au coût des fournitures par paire. Les deux courbes sont des droites. Déterminer graphiquement le seuil de rentabilité, c'est-à-dire le nombre de paires pour lequel la recette est égale au coût : on résout $R(x) = C(x)$ .

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Le seuil de rentabilité du food-truck

Un food-truck vend chaque menu $8$ €. Sur un même repère, on trace en fonction du nombre $x$ de menus vendus dans la journée : la recette $R(x) = 8x$ et le coût total $C(x) = 3x + 250$ (en euros). Les deux courbes sont des droites. Déterminer graphiquement le seuil de rentabilité, c'est-à-dire le nombre de menus pour lequel la recette est égale au coût : on résout $R(x) = C(x)$ .

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Quelle production pour un bénéfice d'au moins 500 euros

Un petit atelier de bougies parfumées trace son bénéfice $B$ (en euros) en fonction du nombre $x$ de bougies vendues. La courbe est une droite qui passe par les points $(50\,;\,0)$ , $(150\,;\,500)$ et $(250\,;\,1000)$ . L'atelier ne peut pas produire plus de $300$ bougies par mois. La gérante vise un bénéfice d'au moins $500$ €. Résoudre graphiquement l'inéquation $B(x) \geq 500$ et donner l'intervalle de production correspondant.

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Bonus

Comparer deux tarifs et choisir le plus avantageux

Une plateforme de location de films en streaming propose deux offres, facturées selon le nombre $x$ de films loués dans le mois. L'offre A : un abonnement de $20$ € puis $0{,}40$ € par film, soit $P_A(x) = 0{,}40x + 20$ . L'offre B : un abonnement de $8$ € puis $0{,}80$ € par film, soit $P_B(x) = 0{,}80x + 8$ (prix en euros). On trace les deux droites sur un même repère. Déterminer graphiquement l'intervalle des valeurs de $x$ pour lesquelles l'offre B est la plus avantageuse (la moins chère).

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Pour quelles ventes le bénéfice dépasse-t-il 200 euros

Un créateur vend des coques de téléphone personnalisées sur une boutique en ligne. Son bénéfice mensuel $B$ (en euros) est représenté en fonction du nombre $x$ de coques vendues. La courbe monte, atteint un sommet, puis redescend (au-delà d'un certain volume, les frais de production et de livraison repartent à la hausse). Cette courbe coupe la droite horizontale $y = 200$ en deux points, d'abscisses $x = 30$ et $x = 90$ ; entre ces deux valeurs, la courbe est au-dessus de cette droite. Le créateur veut un bénéfice d'au moins $200$ €. Résoudre graphiquement l'inéquation $B(x) \geq 200$ et donner l'intervalle de ventes correspondant.

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Questions fréquentes

Comment résoudre graphiquement l'équation f(x) = c ?

On trace la droite horizontale d'équation y = c, puis on repère les points où cette droite coupe la courbe de la fonction f. Pour chaque point d'intersection, on lit l'abscisse, c'est-à-dire la valeur lue sur l'axe horizontal. Ces abscisses sont les solutions de l'équation. S'il n'y a aucun point d'intersection, l'équation n'a pas de solution.

Comment trouver le seuil de rentabilité sur un graphique ?

Le seuil de rentabilité est la quantité pour laquelle la recette devient égale au coût, donc le point où la courbe de recette et la courbe de coût se croisent. On repère ce point d'intersection, puis on lit son abscisse sur l'axe horizontal : c'est la quantité à produire pour ne plus perdre d'argent. Au-delà de ce point, la recette dépasse le coût et l'activité devient bénéficiaire.

Comment résoudre graphiquement une inéquation comme f(x) plus petit ou égal à c ?

On commence par résoudre l'équation f(x) = c pour trouver les abscisses des points où la courbe coupe la droite horizontale y = c. Ensuite on regarde où la courbe passe en dessous de cette droite, car en dessous signifie que f(x) est plus petit que c. On lit alors sur l'axe horizontal l'intervalle des valeurs correspondantes : c'est l'ensemble des solutions de l'inéquation.