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Rêves Vision
Première pro

Pour quelles ventes le bénéfice dépasse-t-il 200 euros

Énoncé

Un créateur vend des coques de téléphone personnalisées sur une boutique en ligne. Son bénéfice mensuel BB (en euros) est représenté en fonction du nombre xx de coques vendues. La courbe monte, atteint un sommet, puis redescend (au-delà d'un certain volume, les frais de production et de livraison repartent à la hausse). Cette courbe coupe la droite horizontale y=200y = 200 en deux points, d'abscisses x=30x = 30 et x=90x = 90 ; entre ces deux valeurs, la courbe est au-dessus de cette droite. Le créateur veut un bénéfice d'au moins 200200 €. Résoudre graphiquement l'inéquation B(x)≥200B(x) \geq 200 et donner l'intervalle de ventes correspondant.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. « Au moins 200200 € » se traduit par B(x)≥200B(x) \geq 200 : trace (ou imagine) la droite horizontale y=200y = 200 et repère où la courbe est au-dessus.
  2. Attention, la courbe monte puis redescend : elle coupe la droite y=200y = 200 en deux points. Repère bien les deux abscisses, ce sont les bornes de l'intervalle.
  3. La courbe n'est au-dessus de la droite qu'entre ces deux abscisses : la solution est un intervalle fermé [ … ; … ][\,\ldots\,;\,\ldots\,], pas une seule valeur ni une demi-droite.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Traduire « au moins 200 euros »

    « Un bénéfice d'au moins 200200 € » se traduit par B(x)≥200B(x) \geq 200. La droite de référence est ici la droite horizontale y=200y = 200. On cherche les valeurs de xx pour lesquelles la courbe est au-dessus (ou au niveau) de cette droite.

  2. 2. Résoudre d'abord l'égalité B(x) = 200

    On commence par repérer où la courbe atteint exactement 200200 €, donc où elle coupe la droite y=200y = 200. D'après le graphique, cela se produit en deux points, d'abscisses x=30x = 30 et x=90x = 90 : ce sont les deux frontières de notre intervalle.

  3. 3. Repérer où la courbe est au-dessus de y = 200

    Comme la courbe monte puis redescend, elle n'est au-dessus de la droite y=200y = 200 qu'entre ses deux points de croisement. Pour xx compris entre 3030 et 9090, la courbe est au-dessus : le bénéfice y dépasse 200200 €. Avant 3030 coques et après 9090 coques, la courbe repasse en dessous : le bénéfice est inférieur à 200200 €.

  4. 4. Donner l'intervalle solution

    Les solutions de B(x)≥200B(x) \geq 200 sont donc les valeurs de xx comprises entre 3030 et 9090, bornes comprises (en 3030 et en 9090 le bénéfice vaut exactement 200200 €) : l'ensemble des solutions est l'intervalle [30 ; 90][30\,;\,90]. Le bénéfice est d'au moins 200 € lorsque le créateur vend entre 30 et 90 coques par mois.
Réponse finale
B(x)≥200  ⟺  x∈[30 ; 90] coquesB(x) \geq 200 \iff x \in [30\,;\,90] \ \text{coques}
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