Aller au contenu
Rêves Vision
Première pro

Le business de revente de sneakers

Énoncé

Adam se lance dans la revente de sneakers. Le 1er mois, il réalise un bénéfice de 120120 €. Comme il revend de plus en plus de paires, son bénéfice mensuel augmente de 3535 € chaque mois par rapport au mois précédent. On note u1=120u_1 = 120 le bénéfice du 1er mois (en euros) et unu_n celui du mois nn. 1) Montrer que un=35n+85u_n = 35n + 85. 2) Calculer u10u_{10}, le bénéfice du 10e mois. 3) Calculer le bénéfice total réalisé sur les 1010 premiers mois. 4) Préciser le sens de variation de la suite.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le premier terme est donné au mois 11, donc pars de un=u1+(n−1)×ru_n = u_1 + (n - 1) \times r avant de développer, et pense à distribuer le 3535 sur (n−1)(n - 1).
  2. Pour le bénéfice total, c'est une somme de u1u_1 à u10u_{10} : compte d'abord le nombre de termes avec 10−1+110 - 1 + 1.
  3. Applique ensuite S=nombre de termes×(premier+dernier)2S = \dfrac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier} + \text{dernier})}{2} avec le premier u1=120u_1 = 120 et le dernier u10=435u_{10} = 435.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Identifier la suite et la formule adaptée

    Chaque mois, le bénéfice augmente du même montant : +35+35 €. On ajoute toujours la même quantité, donc la suite (un)(u_n) est arithmétique, de raison r=35r = 35. Ici le premier terme est donné au rang 11 (u1=120u_1 = 120), on utilise donc la formule un=u1+(n−1)×ru_n = u_1 + (n - 1) \times r (il faut n−1n - 1 pas pour aller du mois 11 au mois nn).

  2. 2. Développer pour obtenir l'expression demandée

    On remplace u1=120u_1 = 120 et r=35r = 35, puis on développe : un=120+(n−1)×35=120+35×(n−1)=120+35n−35=35n+85u_n = 120 + (n - 1) \times 35 = 120 + 35 \times (n - 1) = 120 + 35n - 35 = 35n + 85. On a donc bien un=35n+85u_n = 35n + 85 (en euros). Contrôle : pour n=1n = 1, u1=35×1+85=120u_1 = 35 \times 1 + 85 = 120, ce qui correspond bien à l'énoncé.

  3. 3. Calculer le bénéfice du 10e mois

    Le 10e mois correspond au rang n=10n = 10. On remplace nn par 1010 dans un=35n+85u_n = 35n + 85 : u10=35×10+85=350+85=435u_{10} = 35 \times 10 + 85 = 350 + 85 = 435 €. Le 10e mois, Adam réalise donc 435435 € de bénéfice.

  4. 4. Calculer le bénéfice total sur 10 mois

    Le bénéfice total est la somme des bénéfices de u1u_1 à u10u_{10}, soit une addition de termes consécutifs d'une suite arithmétique. De u1u_1 à u10u_{10}, il y a 10−1+1=1010 - 1 + 1 = 10 termes. On applique S=nombre de termes×(premier+dernier)2S = \dfrac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier} + \text{dernier})}{2} avec 1010 termes, premier terme u1=120u_1 = 120 et dernier terme u10=435u_{10} = 435 : S=10×(120+435)2=10×5552=5 5502=2 775S = \dfrac{10 \times (120 + 435)}{2} = \dfrac{10 \times 555}{2} = \dfrac{5\,550}{2} = 2\,775 €.

  5. 5. Donner le sens de variation et conclure

    La raison r=35r = 35 est positive, donc la suite est croissante : le bénéfice mensuel augmente d'un mois à l'autre, ce qui est cohérent avec un business qui se développe. On a un=35n+85u_n = 35n + 85, u10=435u_{10} = 435 €, un bénéfice total de 2 7752\,775 € sur les 10 premiers mois, et la suite est croissante car r=35>0r = 35 > 0.
Réponse finale
un=35n+85;u10=435 euros;S=10×(120+435)2=2 775 euros;r>0:croissanteu_n = 35n + 85 \quad ; \quad u_{10} = 435 \ \text{euros} \quad ; \quad S = \dfrac{10 \times (120 + 435)}{2} = 2\,775 \ \text{euros} \quad ; \quad r > 0 : \text{croissante}
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Suites arithmétiques ← Retour au cours

À suivre