Première pro · Chapitre 3

Suites arithmétiques

Cours de Première pro sur les suites arithmétiques : raison, terme de rang n, sens de variation, somme des termes. Salaire, loyer, épargne : exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Un salaire qui monte de 60 € par an, un loyer qui prend 12 € de plus chaque année, une épargne où l’on ajoute un peu plus tous les mois : à chaque fois, on répète la même addition. Ces situations se modélisent par une suite arithmétique. Savoir calculer directement le terme de rang $n$ et la somme de plusieurs termes permet de prévoir un montant dans 5 ou 10 ans sans tout calculer à la main.

Ce que tu dois savoir faire

À la fin de ce chapitre, je sais :

reconnaître qu’une suite est arithmétique et trouver sa raison ;
calculer un terme à partir du précédent (relation de récurrence) ;
calculer directement le terme de rang $n$ avec la formule ;
dire si la suite est croissante ou décroissante selon le signe de la raison ;
calculer la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Dès qu’une grandeur augmente (ou baisse) d’une valeur fixe à intervalles réguliers, tu as une suite arithmétique :

un salaire annuel avec une augmentation fixe chaque année ;
un loyer révisé du même montant tous les ans ;
le nombre de commandes d’un food-truck qui gagne le même nombre de clients chaque semaine ;
une épargne dans laquelle tu verses régulièrement.

La formule du terme de rang $n$ te donne le montant futur d’un coup, et la formule de la somme te dit combien tu auras versé en tout. Pratique pour un budget !

1. Vocabulaire des suites

Suite et notation

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, appelés les termes de la suite.

On note la suite $(u_n)$ . Chaque terme porte un rang (sa position) :

$u_0$ est le terme de rang $0$ (souvent le terme de départ) ;
$u_1$ est le terme de rang $1$ , $u_2$ celui de rang $2$ , etc. ;
$u_n$ est le terme de rang $n$ (le terme « général ») ;
$u_{n+1}$ est le terme juste après $u_n$ .

Par exemple, pour la suite $5\,;\ 8\,;\ 11\,;\ 14\,;\ \dots$ on a $u_0 = 5$ , $u_1 = 8$ , $u_2 = 11$ .

Rang n et rang n + 1, ne pas confondre

$n$ est un numéro de place, pas une valeur du tableau. $u_{n+1}$ ne veut pas dire « $u_n + 1$ » : c’est simplement le terme suivant $u_n$ dans la liste. Si $u_n = 11$ , alors $u_{n+1}$ est le terme d’après (par exemple $14$ ), pas $12$ .

2. Suite arithmétique : définition et raison

Suite arithmétique

Une suite $(u_n)$ est arithmétique lorsque l’on passe de chaque terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ , appelé la raison.

Cela s’écrit, pour tout rang $n$ : $u_{n+1} = u_n + r$

C’est une relation de récurrence : chaque terme se déduit du précédent.

Vérifier qu'une suite est arithmétique et trouver la raison

Pour savoir si une suite est arithmétique, on calcule la différence entre un terme et le précédent : $u_{n+1} - u_n$ .

Calculer $u_1 - u_0$ , puis $u_2 - u_1$ , puis $u_3 - u_2$ …
Si toutes ces différences donnent le même nombre, la suite est arithmétique et ce nombre est la raison $r$ .
Si les différences ne sont pas toutes égales, la suite n’est pas arithmétique.

Exemple : pour $5\,;\ 8\,;\ 11\,;\ 14$ , on a $8 - 5 = 3$ , $11 - 8 = 3$ , $14 - 11 = 3$ . La différence est toujours $3$ , donc la suite est arithmétique de raison $r = 3$ .

Une différence constante, pas un rapport constant

FAUX : « Les termes $4\,;\ 8\,;\ 16\,;\ 32$ forment une suite arithmétique car on multiplie par $2$ . »

VRAI : dans une suite arithmétique, on ajoute toujours le même nombre, on ne multiplie pas. Ici $8 - 4 = 4$ mais $16 - 8 = 8$ : les différences ne sont pas égales, donc la suite n’est pas arithmétique. Pour vérifier, on regarde toujours la différence $u_{n+1} - u_n$ , jamais le quotient.

3. Calculer le terme de rang n

Calculer les termes un par un avec la récurrence devient long si le rang est grand. Heureusement, il existe une formule directe.

Terme de rang n d'une suite arithmétique

Si $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ , alors pour tout rang $n$ : $u_n = u_0 + n \times r$

Autrement dit, pour atteindre le rang $n$ en partant de $u_0$ , on ajoute $n$ fois la raison.

Quand le premier terme est u1 (et non u0)

Parfois la situation démarre au rang $1$ (par exemple « le 1er mois »). La formule s’adapte : on compte le nombre de pas entre le premier rang et le rang visé.

Si le premier terme est $u_1$ , alors : $u_n = u_1 + (n - 1) \times r$

car il faut $n - 1$ pas pour aller du rang $1$ au rang $n$ . Le mot-clé : compter combien de fois on ajoute la raison.

Calculer un terme de rang donné

Repérer le premier terme ( $u_0$ ou $u_1$ ) et la raison $r$ .
Choisir la bonne formule selon le rang de départ.
Remplacer $n$ par le rang cherché.
Effectuer le calcul (d’abord la multiplication, puis l’addition).

Exemple : une suite arithmétique a pour premier terme $u_0 = 200$ et pour raison $r = 15$ . Le terme de rang $10$ vaut : $u_{10} = u_0 + 10 \times r = 200 + 10 \times 15 = 200 + 150 = 350.$

4. Sens de variation

Le signe de la raison donne le sens de variation

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ .

Si $r > 0$ : à chaque étape on ajoute un nombre positif, donc la suite augmente : elle est croissante.
Si $r < 0$ : on ajoute un nombre négatif, donc la suite diminue : elle est décroissante.
Si $r = 0$ : tous les termes sont égaux : la suite est constante.

On lit donc le sens de variation directement sur le signe de la raison, sans calculer tous les termes.

Lien avec les fonctions affines

La formule $u_n = u_0 + n \times r$ ressemble à celle d’une fonction affine $f(x) = a x + b$ :

la raison $r$ joue le rôle du coefficient directeur $a$ (la pente) ;
le premier terme $u_0$ joue le rôle de l’ordonnée à l’origine $b$ .

Conséquence visuelle : si on place les points de coordonnées $(n\,;\ u_n)$ , ils sont alignés ! Le nuage de points d’une suite arithmétique forme une droite. Une raison positive donne une droite qui monte, une raison négative une droite qui descend.

5. Somme des termes

Somme de termes consécutifs

Pour additionner plusieurs termes qui se suivent d’une suite arithmétique, on n’a pas besoin de tout calculer terme par terme. On utilise : $S = \frac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})}{2}$

L’idée : la somme vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme.

Calculer une somme de termes

Compter combien de termes on additionne.
Identifier le premier terme et le dernier terme de la liste.
Appliquer la formule : multiplier le nombre de termes par la somme (premier + dernier), puis diviser par $2$ .

Exemple : on additionne les $10$ premiers termes de $u_0 = 2\,;\ u_1 = 5\,;\ \dots$ de raison $3$ . Le dernier est $u_9 = 2 + 9 \times 3 = 29$ . Il y a $10$ termes (de $u_0$ à $u_9$ ), donc : $S = \frac{10 \times (2 + 29)}{2} = \frac{10 \times 31}{2} = \frac{310}{2} = 155.$

Bien compter le nombre de termes

FAUX : « De $u_0$ à $u_9$ , il y a $9$ termes. »

VRAI : quand on va du rang $0$ au rang $9$ , il y a $9 - 0 + 1 = 10$ termes (on compte les deux bornes). De même, de $u_1$ à $u_{12}$ il y a $12 - 1 + 1 = 12$ termes. Se tromper d’un terme fausse toute la somme : il faut toujours faire dernier rang − premier rang + 1.

Réflexe de vérification

Le sens de variation doit coller au contexte : un salaire ou une épargne qui progressent ont une raison positive (la suite monte). Si tu trouves une raison négative pour un montant censé augmenter, reprends ton calcul de la différence $u_{n+1} - u_n$ . Et garde l’unité (€, salariés, commandes) à chaque étape.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer le terme de rang 10

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 200$ et de raison $r = 15$ . Calculer le terme de rang $10$ , c'est-à-dire $u_{10}$ .

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Le forfait data qui fond

En début de mois, le forfait mobile de Noé contient $90$ Go de données. En regardant des vidéos, il consomme chaque jour $6$ Go. On note $u_0 = 90$ la quantité de Go disponibles au départ (jour $0$ ) et $u_n$ la quantité restante après $n$ jours. 1) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ . 2) Combien de Go lui reste-t-il après $7$ jours ? 3) La suite est-elle croissante ou décroissante ?

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Les embauches de l'entreprise

Une entreprise de logistique compte $40$ salariés cette année. Elle prévoit d'embaucher $5$ personnes de plus chaque année. On note $u_0 = 40$ l'effectif de départ, puis $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ les effectifs des années suivantes. Donner les valeurs de $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ , puis préciser la raison de la suite.

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Le défi d'abonnés sur une semaine

Inès lance un défi de contenus sur une semaine. Le jour du lancement (jour $0$ ), elle gagne $50$ nouveaux abonnés. Grâce à la régularité, elle gagne ensuite $25$ nouveaux abonnés de plus que la veille à chaque nouveau jour. On note $u_0 = 50$ le nombre de nouveaux abonnés du jour $0$ et $u_n$ celui du jour $n$ . Le défi dure $8$ jours, du jour $0$ au jour $7$ . 1) Calculer $u_7$ , le nombre de nouveaux abonnés gagnés le dernier jour. 2) Calculer le nombre total de nouveaux abonnés gagnés sur toute la semaine.

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Le loyer qui augmente chaque année

Pour son studio, Lina paie aujourd'hui un loyer de $480$ € par mois. Le bail prévoit une augmentation fixe de $12$ € par an. On note $u_0 = 480$ le loyer actuel (en euros) et $u_n$ le loyer au bout de $n$ années. 1) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ . 2) Calculer le loyer que Lina paiera dans $6$ ans.

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Le nuage de points du salaire

À son embauche, Karim gagne $1\,800$ € net par mois. Son contrat prévoit une augmentation fixe de $60$ € par mois chaque année. On note $u_0 = 1\,800$ son salaire de départ et $u_n$ son salaire après $n$ années. 1) Calculer $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ et $u_4$ . 2) Placer les points de coordonnées $(n\,;\ u_n)$ pour $n$ allant de $0$ à $4$ . 3) Que remarque-t-on sur ces points, et que dire du sens de variation ?

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Bonus

L'épargne pour ouvrir un food-truck

Yasmine veut ouvrir un food-truck. Pour réunir son apport, elle épargne chaque mois : $50$ € le premier mois, puis $10$ € de plus que le mois précédent à chaque nouveau mois. Elle tient ce rythme pendant $12$ mois. On note $u_1 = 50$ la somme épargnée le 1er mois (en euros) et $u_n$ celle du mois $n$ . 1) Calculer $u_{12}$ , la somme mise de côté le 12e mois. 2) Calculer la somme totale épargnée au bout des $12$ mois.

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Le business de revente de sneakers

Adam se lance dans la revente de sneakers. Le 1er mois, il réalise un bénéfice de $120$ €. Comme il revend de plus en plus de paires, son bénéfice mensuel augmente de $35$ € chaque mois par rapport au mois précédent. On note $u_1 = 120$ le bénéfice du 1er mois (en euros) et $u_n$ celui du mois $n$ . 1) Montrer que $u_n = 35n + 85$ . 2) Calculer $u_{10}$ , le bénéfice du 10e mois. 3) Calculer le bénéfice total réalisé sur les $10$ premiers mois. 4) Préciser le sens de variation de la suite.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

Une suite est arithmétique lorsque l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé la raison. Par exemple, un salaire de 1800 euros qui augmente de 60 euros chaque année forme une suite arithmétique de raison 60 : 1800, puis 1860, puis 1920, et ainsi de suite.

Comment calculer le terme de rang n d'une suite arithmétique ?

On part du premier terme et on ajoute autant de fois la raison qu'il faut pour atteindre le rang cherché. Si le premier terme est noté u indice 0, alors le terme de rang n vaut u indice 0 plus n fois la raison. Cette formule évite de calculer un par un tous les termes intermédiaires.

Comment reconnaître si une suite augmente ou diminue ?

Tout dépend du signe de la raison. Si la raison est positive, on ajoute un nombre positif à chaque étape, donc la suite augmente : on dit qu'elle est croissante. Si la raison est négative, la suite diminue : elle est décroissante. Si la raison est nulle, tous les termes sont égaux : la suite est constante.