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Rêves Vision
Première pro

Le défi d'abonnés sur une semaine

Énoncé

Inès lance un défi de contenus sur une semaine. Le jour du lancement (jour 00), elle gagne 5050 nouveaux abonnés. Grâce à la régularité, elle gagne ensuite 2525 nouveaux abonnés de plus que la veille à chaque nouveau jour. On note u0=50u_0 = 50 le nombre de nouveaux abonnés du jour 00 et unu_n celui du jour nn. Le défi dure 88 jours, du jour 00 au jour 77. 1) Calculer u7u_7, le nombre de nouveaux abonnés gagnés le dernier jour. 2) Calculer le nombre total de nouveaux abonnés gagnés sur toute la semaine.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le premier terme est donné au jour 00, donc utilise un=u0+n×ru_n = u_0 + n \times r avec r=25r = 25.
  2. Attention au nombre de termes : de u0u_0 à u7u_7, il y a 7−0+1=87 - 0 + 1 = 8 termes, pas 77.
  3. Pour le total, applique S=nombre de termes×(premier+dernier)2S = \dfrac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier} + \text{dernier})}{2} avec 88 termes, le premier u0=50u_0 = 50 et le dernier u7=225u_7 = 225.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Identifier la suite

    Chaque jour, Inès gagne 2525 nouveaux abonnés de plus que la veille : on ajoute toujours la même quantité, donc la suite (un)(u_n) du nombre de nouveaux abonnés par jour est arithmétique, de premier terme u0=50u_0 = 50 et de raison r=25r = 25.

  2. 2. Calculer le terme du dernier jour

    Le premier terme est donné au rang 00, on utilise donc un=u0+n×ru_n = u_0 + n \times r. Le dernier jour est le jour 77, soit n=7n = 7 : u7=u0+7×r=50+7×25=50+175=225u_7 = u_0 + 7 \times r = 50 + 7 \times 25 = 50 + 175 = 225 nouveaux abonnés.

  3. 3. Compter le nombre de termes

    Le total est la somme des nouveaux abonnés de u0u_0 à u7u_7 : c'est une addition de termes consécutifs d'une suite arithmétique. De u0u_0 à u7u_7, il y a 7−0+1=87 - 0 + 1 = 8 termes (on compte les deux bornes, le jour 00 et le jour 77).

  4. 4. Appliquer la formule de la somme

    On utilise S=nombre de termes×(premier+dernier)2S = \dfrac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier} + \text{dernier})}{2} avec 88 termes, premier terme 5050 et dernier terme 225225 : S=8×(50+225)2=8×2752=2 2002=1 100S = \dfrac{8 \times (50 + 225)}{2} = \dfrac{8 \times 275}{2} = \dfrac{2\,200}{2} = 1\,100 nouveaux abonnés.

  5. 5. Conclure

    Le dernier jour, Inès gagne 225225 nouveaux abonnés, et sur toute la semaine elle en gagne 1 1001\,100 au total. Vérification d'ordre de grandeur : avec un gain moyen de 50+2252=137,5\dfrac{50 + 225}{2} = 137{,}5 abonnés par jour pendant 88 jours, on obtient 137,5×8=1 100137{,}5 \times 8 = 1\,100 : on retrouve bien le résultat. Inès gagne u7=225u_7 = 225 nouveaux abonnés le dernier jour et 1 1001\,100 nouveaux abonnés en tout sur la semaine.
Réponse finale
u7=50+7×25=225;S=8×(50+225)2=1 100 nouveaux abonnesu_7 = 50 + 7 \times 25 = 225 \quad ; \quad S = \dfrac{8 \times (50 + 225)}{2} = 1\,100 \ \text{nouveaux abonnes}
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