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Rêves Vision
Première ST2S

Plage d'efficacité d'un antalgique

Énoncé

Après l'injection d'un antalgique, sa concentration (en mg/L) dans le sang est modélisée pour 0≤t≤60 \le t \le 6 (en heures) par C(t)=−2 t2+12 t.C(t) = -2\,t^2 + 12\,t. a) Calculer C(0)C(0) et C(6)C(6), puis interpréter. b) La courbe de CC est une parabole tournée vers le bas, de sommet atteint en t=3.t = 3. Déterminer la concentration maximale. c) L'antalgique soulage le patient lorsque C(t)≥10.C(t) \ge 10. Déterminer la plage horaire pendant laquelle le patient est soulagé.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour les images, remplace tt par la valeur demandée et calcule d'abord la puissance t2t^{2}, puis multiplie par les coefficients : attention au signe du terme −2 t2.-2\,t^{2}.
  2. Pour la question c), commence par résoudre l'équation C(t)=10C(t) = 10, c'est-à-dire −2 t2+12 t=10-2\,t^2 + 12\,t = 10 : ramène tout d'un même côté puis divise par −2-2 pour simplifier avant de tester des valeurs entières.
  3. La parabole est tournée vers le bas : elle est au-dessus de la droite y=10y = 10 entre ses deux points d'intersection. La plage cherchée est l'intervalle compris entre ces deux abscisses.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. a) Valeurs aux bornes

    On remplace tt par chaque borne dans C(t)=−2 t2+12 t.C(t) = -2\,t^2 + 12\,t. Pour t=0t = 0 : C(0)=−2×02+12×0=0.C(0) = -2 \times 0^2 + 12 \times 0 = 0. Pour t=6t = 6 : C(6)=−2×62+12×6=−2×36+72=−72+72=0.C(6) = -2 \times 6^2 + 12 \times 6 = -2 \times 36 + 72 = -72 + 72 = 0. Au moment de l'injection puis au bout de 66 heures, la concentration est nulle : le produit n'est pas encore diffusé, puis il est totalement éliminé.

  2. 2. b) Concentration maximale

    La parabole est tournée vers le bas, donc son sommet correspond au maximum de la concentration. Ce sommet est atteint en t=3t = 3, donc on calcule C(3)=−2×32+12×3=−2×9+36=−18+36=18.C(3) = -2 \times 3^2 + 12 \times 3 = -2 \times 9 + 36 = -18 + 36 = 18. La concentration maximale est de 1818 mg/L, atteinte 33 heures après l'injection.

  3. 3. c) Résoudre l'équation C(t) = 10

    Le patient est soulagé quand C(t)≥10.C(t) \ge 10. On résout d'abord l'équation C(t)=10C(t) = 10, c'est-à-dire −2 t2+12 t=10.-2\,t^2 + 12\,t = 10. On ramène tout d'un même côté : −2 t2+12 t−10=0.-2\,t^2 + 12\,t - 10 = 0. On divise les deux membres par −2-2 pour simplifier : t2−6 t+5=0.t^2 - 6\,t + 5 = 0. On teste des valeurs entières de [0 ; 6][0\,;\,6] : pour t=1t = 1, 12−6×1+5=1−6+5=01^2 - 6 \times 1 + 5 = 1 - 6 + 5 = 0 ; pour t=5t = 5, 52−6×5+5=25−30+5=0.5^2 - 6 \times 5 + 5 = 25 - 30 + 5 = 0. Les deux instants frontières sont donc t=1t = 1 heure et t=5t = 5 heures.

  4. 4. Situer la courbe par rapport à y = 10

    La parabole est tournée vers le bas et son sommet (en t=3t = 3, où C=18C = 18) est au-dessus de la droite y=10.y = 10. La courbe passe donc au-dessus de cette droite exactement entre ses deux points d'intersection, c'est-à-dire pour tt compris entre 11 et 5.5. On a donc C(t)≥10C(t) \ge 10 pour t∈[1 ; 5].t \in [1\,;\,5].

  5. 5. Conclure sur la plage horaire

    Le patient est soulagé tant que t∈[1 ; 5]t \in [1\,;\,5], soit entre la 1re1^{re} et la 5e5^{e} heure après l'injection. La durée correspondante est 5−1=45 - 1 = 4 heures. L'antalgique soulage le patient pendant 44 heures, de la 1re1^{re} à la 5e5^{e} heure après l'injection.
Réponse finale
C(0)=C(6)=0;maximum 18 mg/L aˋ t=3 h;C(t)≥10 sur [1 ; 5], soit 4 heuresC(0) = C(6) = 0 \quad ; \quad \text{maximum } 18 \text{ mg/L à } t = 3 \text{ h} \quad ; \quad C(t) \ge 10 \text{ sur } [1\,;\,5]\text{, soit } 4 \text{ heures}
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