Première ST2S · Chapitre 2

Les fonctions de référence

Cours de Première ST2S sur les fonctions de référence : affine, carré, inverse, racine carrée. Variations, courbes, lecture graphique appliquées à la santé, avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première ST2S - mathématiques (programme 2019) · Mis à jour en juin 2026

En santé-social, beaucoup de phénomènes se décrivent par des fonctions : la dose d’un médicament selon le poids, la concentration d’un produit dans le sang au fil du temps, un débit de perfusion. Pour les exploiter, il faut connaître quelques fonctions de référence : la fonction affine, la fonction carré, la fonction inverse et la fonction racine carrée. Pour chacune, on retient son domaine, l’allure de sa courbe et surtout son sens de variation.

Ce que tu sauras faire

Je connais la courbe et le sens de variation des fonctions affine, carré, inverse et racine carrée.
Je sais lire sur un graphique une image, un antécédent, un maximum ou un minimum.
Je sais résoudre graphiquement une équation $f(x) = k$ et une inéquation $f(x) \le k$ ou $f(x) \ge k$ .
Je sais relier ces fonctions à des situations de santé-social : concentration d’un médicament, débit, dose selon le poids.

À quoi ça sert ?

Imagine qu’un patient reçoit un médicament. Sa concentration dans le sang monte d’abord, atteint un pic, puis redescend pendant que l’organisme l’élimine : on décrit cette courbe avec une fonction du second degré (une parabole). Le débit d’une perfusion qui doit délivrer un volume fixe est d’autant plus faible que la durée est longue : c’est la fonction inverse. La dose à injecter, souvent proportionnelle au poids, suit une fonction affine. Savoir lire et faire varier ces fonctions, c’est savoir interpréter un protocole de soin.

La fonction affine

Fonction affine

Une fonction affine est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = a\,x + b$ , où $a$ et $b$ sont deux réels fixés. Le nombre $a$ est le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine. Sa courbe est une droite.

Sens de variation d'une fonction affine

Le sens de variation d’une fonction affine ne dépend que du signe de $a$ :

si $a > 0$ , la fonction est croissante sur $\mathbb{R}$ ;
si $a < 0$ , la fonction est décroissante sur $\mathbb{R}$ ;
si $a = 0$ , la fonction est constante (droite horizontale).

Une dose proportionnelle au poids

Un protocole prescrit une dose de $15$ mg de médicament par kilogramme de masse corporelle. La dose, en milligrammes, pour un patient de masse $m$ (en kg) est $D(m) = 15\,m$ .

C’est une fonction affine avec $a = 15 > 0$ et $b = 0$ (en fait une fonction linéaire) : elle est croissante. Pour un patient de $60$ kg, $D(60) = 15 \times 60 = 900$ mg.

La fonction carré

Fonction carré

La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ . Sa courbe est une parabole de sommet l’origine $O(0\,;\,0)$ , tournée vers le haut.

Sens de variation

La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ puis croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ . Elle atteint son minimum $0$ en $x = 0$ .

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$x^2$	$+\infty$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

Concentration d'un médicament dans le sang

Après une prise, la concentration (en mg/L) dans le sang est modélisée pour $0 \le t \le 6$ (en heures) par $C(t) = -t^2 + 6\,t$ .

C’est une fonction du second degré : sa courbe est une parabole tournée vers le bas. Elle monte jusqu’à son sommet, atteint en $t = 3$ heures, où $C(3) = -3^2 + 6 \times 3 = -9 + 18 = 9$ mg/L, puis redescend. La concentration maximale est donc de $9$ mg/L, atteinte $3$ heures après la prise.

La fonction inverse

Fonction inverse

La fonction inverse est définie sur $\mathbb{R}^*$ (tous les réels sauf $0$ ) par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ . Sa courbe, en deux branches, s’appelle une hyperbole.

Sens de variation

La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ (jamais sur $\mathbb{R}$ entier, à cause de la valeur interdite $0$ ).

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$\frac{1}{x}$	$0$	$\searrow$	$\Vert$	$\searrow$	$0$

Débit d'une perfusion

Une perfusion doit délivrer un volume fixe de $120$ mL. Si la perfusion dure $t$ minutes, le débit moyen (en mL/min) est $d(t) = \dfrac{120}{t}$ , pour $t > 0$ .

C’est une fonction inverse (multipliée par $120$ ) : elle est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ . Plus la perfusion est longue, plus le débit est faible. Par exemple $d(2) = \dfrac{120}{2} = 60$ mL/min, tandis que $d(8) = \dfrac{120}{8} = 15$ mL/min.

La fonction racine carrée

Fonction racine carrée

La fonction racine carrée est définie sur $[0\,;\,+\infty[$ (uniquement les réels positifs ou nuls) par $f(x) = \sqrt{x}$ . Sa courbe part de l’origine $O$ et s’incurve vers le haut.

Sens de variation

La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

$x$	$0$		$+\infty$
$\sqrt{x}$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

Comme elle est croissante, elle conserve l’ordre : si $0 \le a < b$ , alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ .

Lire et résoudre sur un graphique

Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = k$

Tracer (ou repérer) la courbe de la fonction $f$ .
Tracer la droite horizontale d’équation $y = k$ .
Repérer les points d’intersection entre la courbe et cette droite.
Les solutions sont les abscisses de ces points, lues sur l’axe horizontal.

S’il n’y a aucun point d’intersection, l’équation n’a pas de solution.

Résoudre graphiquement une inéquation $f(x) \ge k$

Tracer la courbe de $f$ et la droite $y = k$ .
Repérer l’intervalle des abscisses où la courbe est au-dessus de la droite (au-dessus pour $\ge$ , en dessous pour $\le$ ).
Écrire l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle.

Astuce : on commence presque toujours par résoudre l’équation $f(x) = k$ pour trouver les abscisses frontières, puis on regarde de quel côté l’inégalité est vraie.

Quand la concentration dépasse-t-elle 5 mg/L ?

Reprenons $C(t) = -t^2 + 6\,t$ . On cherche quand $C(t) \ge 5$ , c’est-à-dire quand la concentration est au moins efficace.

On résout d’abord $C(t) = 5$ : les abscisses frontières sont $t = 1$ et $t = 5$ (on vérifie : $C(1) = -1 + 6 = 5$ et $C(5) = -25 + 30 = 5$ ). Entre ces deux instants, la parabole est au-dessus de la droite $y = 5$ . Le médicament est donc efficace entre $1$ heure et $5$ heures après la prise, soit $t \in [1\,;\,5]$ .

Ne pas confondre image et antécédent

FAUX : « l’image de $9$ par la fonction carré est $3$ ».

VRAI : l’image de $9$ est $9^2 = 81$ . C’est $3$ qui est un antécédent de $9$ (car $3^2 = 9$ ). Sur un graphique : pour une image, on part de l’axe horizontal (une valeur de $x$ ) et on lit en vertical ; pour un antécédent, on part de l’axe vertical (une valeur de $y = k$ ) et on lit en horizontal.

La valeur interdite de la fonction inverse

FAUX : « le débit $d(t) = \dfrac{120}{t}$ est défini pour tout $t$ ».

VRAI : on ne peut jamais diviser par $0$ . La fonction inverse n’est pas définie en $0$ , et ici une durée $t = 0$ n’aurait d’ailleurs aucun sens. Le domaine d’étude est $]0\,;\,+\infty[$ , et il faut toujours écarter la valeur interdite avant de raisonner.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer des images en contexte santé

Dans un service de soins, on utilise trois fonctions. La dose d'un médicament (en mg) pour un patient de masse $m$ (en kg) est $D(m) = 15\,m.$ Le débit (en mL/min) d'une perfusion de $120$ mL durant $t$ minutes est $d(t) = \dfrac{120}{t}.$ Une fonction de calibrage donne $f(x) = \sqrt{x}.$ Calculer $D(58)$ , $d(5)$ et $f(64).$

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Reconnaître une fonction de référence et son sens de variation

Pour chaque fonction, indiquer son nom (affine, carré, inverse ou racine carrée), son domaine de définition et son sens de variation. a) $f(x) = \dfrac{1}{x}$ ; b) $g(x) = \sqrt{x}$ ; c) $h(x) = -2\,x + 7.$

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Temps de préparation d'une poche de soin

Dans une pharmacie hospitalière, le temps de préparation d'une poche de nutrition (en minutes) dépend du volume $v$ de la poche (en dizaines de mL). Ce temps est modélisé par la fonction affine $P(v) = 4\,v + 20.$ a) Calculer $P(15)$ et $P(25).$ b) Déterminer le sens de variation de $P$ et l'interpréter. c) Pour quel volume $v$ le temps de préparation est-il de $100$ minutes ?

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Concentration maximale d'un médicament

Après une prise, la concentration (en mg/L) d'un médicament dans le sang est modélisée pour $0 \le t \le 6$ (en heures) par $C(t) = -t^2 + 6\,t.$ a) Calculer $C(0)$ et $C(6).$ b) Calculer $C(2).$ c) Sachant que la courbe de $C$ est une parabole tournée vers le bas, de sommet atteint en $t = 3$ , déterminer la concentration maximale et l'heure à laquelle elle est atteinte.

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Indice de récupération et fonction racine carrée

Pour suivre la forme physique d'un patient en rééducation, un kinésithérapeute utilise un indice de récupération $R(s) = \sqrt{s}$ , où $s$ est le score obtenu lors d'un test d'effort. a) Calculer $R(81)$ et $R(144).$ b) Le patient passe d'un score de $100$ à un score de $121.$ Sans calculatrice, expliquer pourquoi son indice augmente, puis donner les deux valeurs. c) Quel score $s$ correspond à un indice $R(s) = 11$ ?

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Résoudre graphiquement un problème de débit

Une perfusion délivre un volume de $120$ mL. Pour une durée de $t$ minutes ( $t > 0$ ), le débit (en mL/min) est $d(t) = \dfrac{120}{t}.$ a) Pour quelle durée le débit vaut-il $40$ mL/min ? b) Pour quelles durées le débit est-il inférieur ou égal à $20$ mL/min ?

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Bonus

Durée d'efficacité d'un médicament (bonus)

La concentration (en mg/L) d'un médicament dans le sang est modélisée pour $0 \le t \le 6$ (en heures) par $C(t) = -t^2 + 6\,t.$ Le médicament n'est efficace que lorsque la concentration est supérieure ou égale à $5$ mg/L. a) Déterminer les instants où $C(t) = 5.$ b) En déduire la durée pendant laquelle le médicament est efficace.

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Plage d'efficacité d'un antalgique

Après l'injection d'un antalgique, sa concentration (en mg/L) dans le sang est modélisée pour $0 \le t \le 6$ (en heures) par $C(t) = -2\,t^2 + 12\,t.$ a) Calculer $C(0)$ et $C(6)$ , puis interpréter. b) La courbe de $C$ est une parabole tournée vers le bas, de sommet atteint en $t = 3.$ Déterminer la concentration maximale. c) L'antalgique soulage le patient lorsque $C(t) \ge 10.$ Déterminer la plage horaire pendant laquelle le patient est soulagé.

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Questions fréquentes

Quelles sont les fonctions de référence à connaître en Première ST2S ?

Quatre fonctions reviennent sans cesse : la fonction affine (de la forme a fois x plus b), la fonction carré (x associe x au carré), la fonction inverse (x associe un sur x) et la fonction racine carrée (x associe racine de x). Pour chacune il faut connaître son domaine de définition, l'allure de sa courbe et surtout son sens de variation, car ce sont des modèles utilisés en santé-social, par exemple pour la concentration d'un médicament ou un débit.

Comment résoudre graphiquement une équation f de x égale k ?

On trace la courbe de la fonction f et la droite horizontale d'équation y égale k. Les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection entre la courbe et cette droite : on lit ces abscisses sur l'axe horizontal. S'il n'y a aucun point d'intersection, l'équation n'a pas de solution. Pour une inéquation comme f de x supérieur ou égal à k, on repère plutôt l'intervalle des abscisses où la courbe est au-dessus de la droite.

Pourquoi modélise-t-on la concentration d'un médicament par une fonction du second degré ?

Après une prise, la concentration d'un médicament dans le sang commence par augmenter, atteint un maximum quand le médicament est le mieux absorbé, puis diminue lorsque l'organisme l'élimine. Cette montée puis cette descente se décrivent bien par une parabole tournée vers le bas, dont le sommet donne la concentration maximale et l'instant où elle est atteinte. Lire le sommet permet de savoir quand le médicament est le plus efficace.