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Rêves Vision
Première ST2S

Concentration maximale d'un médicament

Énoncé

Après une prise, la concentration (en mg/L) d'un médicament dans le sang est modélisée pour 0≤t≤60 \le t \le 6 (en heures) par C(t)=−t2+6 t.C(t) = -t^2 + 6\,t. a) Calculer C(0)C(0) et C(6).C(6). b) Calculer C(2).C(2). c) Sachant que la courbe de CC est une parabole tournée vers le bas, de sommet atteint en t=3t = 3, déterminer la concentration maximale et l'heure à laquelle elle est atteinte.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. a) Valeurs aux bornes

    C(0)=−02+6×0=0.C(0) = -0^2 + 6 \times 0 = 0. Et C(6)=−62+6×6=−36+36=0.C(6) = -6^2 + 6 \times 6 = -36 + 36 = 0. Au début et au bout de 66 heures, la concentration est nulle : le médicament n'est pas encore absorbé, puis il est totalement éliminé.

  2. 2. b) Concentration au bout de 2 heures

    C(2)=−22+6×2=−4+12=8.C(2) = -2^2 + 6 \times 2 = -4 + 12 = 8. Deux heures après la prise, la concentration est de 88 mg/L.

  3. 3. c) Concentration maximale

    La parabole est tournée vers le bas : son sommet correspond donc au maximum. Il est atteint en t=3t = 3, et C(3)=−32+6×3=−9+18=9.C(3) = -3^2 + 6 \times 3 = -9 + 18 = 9. La concentration maximale est de 99 mg/L, atteinte 33 heures après la prise.
Réponse finale
C(0)=C(6)=0;C(2)=8 mg/L;maximum 9 mg/L aˋ t=3 hC(0) = C(6) = 0 \quad ; \quad C(2) = 8 \text{ mg/L} \quad ; \quad \text{maximum } 9 \text{ mg/L à } t = 3 \text{ h}
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