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Comparer deux services avec des diagrammes en boîte (problème)

Énoncé

Un cadre de santé compare la durée de séjour (en jours) des patients de deux services, A et B, qui ont chacun accueilli 1010 patients dans la semaine. Service A : 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 11.2\,;\ 3\,;\ 4\,;\ 5\,;\ 5\,;\ 6\,;\ 7\,;\ 8\,;\ 9\,;\ 11. Service B : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 16 ; 26.1\,;\ 2\,;\ 3\,;\ 4\,;\ 4\,;\ 6\,;\ 8\,;\ 10\,;\ 16\,;\ 26. 1) Pour chaque service, calculer la durée moyenne de séjour. 2) Pour chaque service, déterminer les cinq nombres du résumé : xmin⁡x_{\min}, Q1Q_{1}, médiane MM, Q3Q_{3}, xmax⁡.x_{\max}. 3) Comparer les deux services en termes de position et de dispersion, puis dire lequel a les durées de séjour les plus régulières.
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  1. Les deux séries sont déjà rangées dans l'ordre croissant et ont le même effectif n=10.n = 10. Pour la moyenne, additionne les 1010 durées puis divise par 10.10.
  2. L'effectif n=10n = 10 est pair : la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs 55 et 6.6. Pour les quartiles, le rang de Q1Q_{1} est le plus petit entier ≥104=2,5\geq \dfrac{10}{4} = 2{,}5 (donc rang 33) et celui de Q3Q_{3} le plus petit entier ≥3×104=7,5\geq \dfrac{3 \times 10}{4} = 7{,}5 (donc rang 88).
  3. Pour comparer, regarde séparément la position (moyenne, médiane) et la dispersion (écart interquartile Q3−Q1Q_{3} - Q_{1}, étendue). Demande-toi quelle valeur extrême de B tire sa moyenne vers le haut sans concerner la majorité des patients.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la durée moyenne de chaque service

    Service A : la somme vaut 2+3+4+5+5+6+7+8+9+11=602 + 3 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 11 = 60, donc xˉA=6010=6\bar{x}_A = \dfrac{60}{10} = 6 jours. Service B : la somme vaut 1+2+3+4+4+6+8+10+16+26=801 + 2 + 3 + 4 + 4 + 6 + 8 + 10 + 16 + 26 = 80, donc xˉB=8010=8\bar{x}_B = \dfrac{80}{10} = 8 jours.

  2. 2. Déterminer la médiane de chaque service

    L'effectif n=10n = 10 est pair : la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs 55 et 6.6. Service A : le 5e5^\text{e} terme est 55 et le 6e6^\text{e} est 66, donc MA=5+62=5,5M_A = \dfrac{5 + 6}{2} = 5{,}5 jours. Service B : le 5e5^\text{e} terme est 44 et le 6e6^\text{e} est 66, donc MB=4+62=5M_B = \dfrac{4 + 6}{2} = 5 jours.

  3. 3. Déterminer les quartiles de chaque service

    Rang de Q1Q_{1} : plus petit entier supérieur ou égal à 104=2,5\dfrac{10}{4} = 2{,}5, soit le rang 3.3. Rang de Q3Q_{3} : plus petit entier supérieur ou égal à 3×104=7,5\dfrac{3 \times 10}{4} = 7{,}5, soit le rang 8.8. Service A : Q1=4Q_{1} = 4 (3e terme) et Q3=8Q_{3} = 8 (8e terme). Service B : Q1=3Q_{1} = 3 (3e terme) et Q3=10Q_{3} = 10 (8e terme).

  4. 4. Écrire les cinq nombres et les diagrammes en boîte

    Service A : xmin⁡=2x_{\min} = 2, Q1=4Q_{1} = 4, M=5,5M = 5{,}5, Q3=8Q_{3} = 8, xmax⁡=11.x_{\max} = 11. Service B : xmin⁡=1x_{\min} = 1, Q1=3Q_{1} = 3, M=5M = 5, Q3=10Q_{3} = 10, xmax⁡=26.x_{\max} = 26. Sur un même axe gradué en jours, la boîte de A (de 44 à 88) est étroite avec des moustaches courtes ; la boîte de B (de 33 à 1010) est plus large et sa moustache de droite est très longue (jusqu'à 2626).

  5. 5. Comparer la dispersion

    Écart interquartile : Q3−Q1=8−4=4Q_{3} - Q_{1} = 8 - 4 = 4 jours pour A, et 10−3=710 - 3 = 7 jours pour B. Étendue : 11−2=911 - 2 = 9 jours pour A, et 26−1=2526 - 1 = 25 jours pour B. Les deux indicateurs de dispersion sont nettement plus grands pour B : ses durées de séjour sont beaucoup plus étalées.

  6. 6. Conclure en justifiant

    Le service B a une durée moyenne plus élevée (88 jours contre 66), mais des médianes très proches (55 jours contre 5,55{,}5) : la moyenne de B est en réalité tirée vers le haut par deux séjours exceptionnellement longs (1616 et 2626 jours), des valeurs extrêmes qui ne concernent pas la majorité des patients. Le service A a les durées de séjour les plus régulières : son écart interquartile (44 jours) et son étendue (99 jours) sont bien plus faibles que ceux de B (77 et 2525 jours). La moyenne seule serait trompeuse ici : il faut la médiane et la dispersion pour décrire correctement les deux services.
Réponse finale
xˉA=6010=6  ;  xˉB=8010=8  ;  A:(2 ; 4 ; 5,5 ; 8 ; 11), Q3−Q1=4  ;  B:(1 ; 3 ; 5 ; 10 ; 26), Q3−Q1=7  ;  A est le plus reˊgulier (moyenne de B tireˊe par les seˊjours extreˆmes 16 et 26)\bar{x}_A = \dfrac{60}{10} = 6 \;;\; \bar{x}_B = \dfrac{80}{10} = 8 \;;\; A : (2\,;\,4\,;\,5{,}5\,;\,8\,;\,11),\ Q_{3}-Q_{1}=4 \;;\; B : (1\,;\,3\,;\,5\,;\,10\,;\,26),\ Q_{3}-Q_{1}=7 \;;\; \text{A est le plus régulier (moyenne de B tirée par les séjours extrêmes } 16 \text{ et } 26)
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