Statistiques descriptives : indicateurs de position et de dispersion

La moyenne d’une série de valeurs $x_i$ affectées des effectifs $n_i$ est : $\bar{x} = \frac{\sum n_i\, x_i}{\sum n_i}$ On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne tous les produits, puis on divise par l’effectif total $N = \sum n_i$. Si chaque valeur n’apparaît qu’une seule fois, on retrouve la moyenne simple $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}$.

La médiane $M$ partage la série rangée dans l’ordre croissant en deux moitiés de même effectif : au moins la moitié des données lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. On range toujours la série avant de la chercher.

Le premier quartile $Q_{1}$ est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $25\,\%$ des données lui sont inférieures ou égales. Le troisième quartile $Q_{3}$ est la plus petite valeur telle qu’au moins $75\,\%$ des données lui sont inférieures ou égales. Entre $Q_{1}$ et $Q_{3}$ se trouve donc la moitié centrale de la série.

L’écart-type, noté $\sigma$, mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : plus il est petit, plus les valeurs sont resserrées autour de $\bar{x}$ ; plus il est grand, plus elles sont dispersées. En ST2S, on le lit directement à la calculatrice en mode statistiques (touche $\sigma_x$), après avoir saisi les valeurs et leurs effectifs.

Le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) résume une série par cinq nombres : le minimum $x_{\min}$, le premier quartile $Q_{1}$, la médiane $M$, le troisième quartile $Q_{3}$ et le maximum $x_{\max}$. La boîte s’étend de $Q_{1}$ à $Q_{3}$ (elle contient la moitié centrale des données), une barre marque la médiane à l’intérieur, et deux moustaches rejoignent le minimum et le maximum.