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Première ST2S

Comparer la fréquence cardiaque de deux groupes

Énoncé

Dans une étude de santé, on mesure la fréquence cardiaque au repos (en battements par minute) de deux groupes de 1111 personnes : un groupe sédentaire et un groupe sportif. Les deux séries sont déjà rangées dans l'ordre croissant. Groupe sédentaire : 62 ; 66 ; 68 ; 70 ; 72 ; 74 ; 76 ; 78 ; 80 ; 84 ; 84.62\,;\ 66\,;\ 68\,;\ 70\,;\ 72\,;\ 74\,;\ 76\,;\ 78\,;\ 80\,;\ 84\,;\ 84. Groupe sportif : 50 ; 52 ; 54 ; 56 ; 58 ; 58 ; 60 ; 60 ; 62 ; 64 ; 64.50\,;\ 52\,;\ 54\,;\ 56\,;\ 58\,;\ 58\,;\ 60\,;\ 60\,;\ 62\,;\ 64\,;\ 64. À la calculatrice, on a obtenu une moyenne de 7474 et un écart-type de 6,96{,}9 pour le groupe sédentaire, une moyenne de 5858 et un écart-type de 4,44{,}4 pour le groupe sportif. 1) Pour chaque groupe, déterminer les cinq nombres du résumé : xmin⁡x_{\min}, Q1Q_{1}, médiane MM, Q3Q_{3}, xmax⁡.x_{\max}. 2) Calculer l'étendue et l'écart interquartile de chaque groupe. 3) Comparer les deux groupes en termes de position et de dispersion, puis dire lequel a les fréquences cardiaques les plus homogènes.
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  1. Les deux séries sont déjà triées et ont le même effectif n=11.n = 11. L'effectif étant impair, la médiane est la valeur de rang n+12=6.\dfrac{n+1}{2} = 6.
  2. Rang de Q1Q_{1} : plus petit entier supérieur ou égal à n4=114=2,75\dfrac{n}{4} = \dfrac{11}{4} = 2{,}75, donc rang 3.3. Rang de Q3Q_{3} : plus petit entier supérieur ou égal à 3n4=334=8,25\dfrac{3n}{4} = \dfrac{33}{4} = 8{,}25, donc rang 9.9.
  3. Pour comparer, sépare la position (moyenne, médiane) de la dispersion (étendue, écart interquartile Q3−Q1Q_{3} - Q_{1}, écart-type lu à la calculatrice). À position différente, le groupe le plus homogène est celui dont la dispersion est la plus faible.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Repérer les rangs des quartiles et de la médiane

    Pour chaque groupe, n=11.n = 11. La médiane est la valeur de rang n+12=122=6.\dfrac{n+1}{2} = \dfrac{12}{2} = 6. Le rang de Q1Q_{1} est le plus petit entier supérieur ou égal à n4=114=2,75\dfrac{n}{4} = \dfrac{11}{4} = 2{,}75, soit le rang 3.3. Le rang de Q3Q_{3} est le plus petit entier supérieur ou égal à 3n4=3×114=334=8,25\dfrac{3n}{4} = \dfrac{3 \times 11}{4} = \dfrac{33}{4} = 8{,}25, soit le rang 9.9.

  2. 2. Lire les cinq nombres du groupe sédentaire

    Pour la série 62 ; 66 ; 68 ; 70 ; 72 ; 74 ; 76 ; 78 ; 80 ; 84 ; 8462\,;\ 66\,;\ 68\,;\ 70\,;\ 72\,;\ 74\,;\ 76\,;\ 78\,;\ 80\,;\ 84\,;\ 84 : le minimum est xmin⁡=62x_{\min} = 62 ; le 3e3^\text{e} terme donne Q1=68Q_{1} = 68 ; le 6e6^\text{e} terme donne M=74M = 74 ; le 9e9^\text{e} terme donne Q3=80Q_{3} = 80 ; le maximum est xmax⁡=84.x_{\max} = 84.

  3. 3. Lire les cinq nombres du groupe sportif

    Pour la série 50 ; 52 ; 54 ; 56 ; 58 ; 58 ; 60 ; 60 ; 62 ; 64 ; 6450\,;\ 52\,;\ 54\,;\ 56\,;\ 58\,;\ 58\,;\ 60\,;\ 60\,;\ 62\,;\ 64\,;\ 64 : le minimum est xmin⁡=50x_{\min} = 50 ; le 3e3^\text{e} terme donne Q1=54Q_{1} = 54 ; le 6e6^\text{e} terme donne M=58M = 58 ; le 9e9^\text{e} terme donne Q3=62Q_{3} = 62 ; le maximum est xmax⁡=64.x_{\max} = 64.

  4. 4. Calculer étendue et écart interquartile

    Groupe sédentaire : étendue =xmax⁡−xmin⁡=84−62=22= x_{\max} - x_{\min} = 84 - 62 = 22 et écart interquartile =Q3−Q1=80−68=12.= Q_{3} - Q_{1} = 80 - 68 = 12. Groupe sportif : étendue =64−50=14= 64 - 50 = 14 et écart interquartile =62−54=8.= 62 - 54 = 8. Les deux indicateurs de dispersion sont plus petits pour le groupe sportif.

  5. 5. Comparer la position

    On compare d'abord les centres des deux séries. La moyenne du groupe sportif (5858 battements/min) est nettement plus basse que celle du groupe sédentaire (7474), et il en va de même pour les médianes (5858 contre 7474). D'après ces indicateurs de position, le groupe sportif a une fréquence cardiaque au repos plus basse.

  6. 6. Comparer la dispersion et conclure

    On compare ensuite l'étalement des valeurs. L'écart-type lu à la calculatrice vaut 4,44{,}4 pour le groupe sportif contre 6,96{,}9 pour le groupe sédentaire ; l'écart interquartile vaut 88 contre 1212 et l'étendue 1414 contre 22.22. Tous les indicateurs de dispersion sont plus faibles pour le groupe sportif. Le groupe sportif a les fréquences cardiaques les plus homogènes : ses valeurs sont à la fois plus basses (meilleure position) et plus resserrées autour de la moyenne (dispersion plus faible) que celles du groupe sédentaire.
Réponse finale
Seˊdentaire:(62 ; 68 ; 74 ; 80 ; 84), eˊtendue=22, Q3−Q1=12, σ≈6,9  ;  Sportif:(50 ; 54 ; 58 ; 62 ; 64), eˊtendue=14, Q3−Q1=8, σ≈4,4  ;  le groupe sportif est le plus homogeˋne\text{Sédentaire} : (62\,;\,68\,;\,74\,;\,80\,;\,84),\ \text{étendue} = 22,\ Q_{3} - Q_{1} = 12,\ \sigma \approx 6{,}9 \;;\; \text{Sportif} : (50\,;\,54\,;\,58\,;\,62\,;\,64),\ \text{étendue} = 14,\ Q_{3} - Q_{1} = 8,\ \sigma \approx 4{,}4 \;;\; \text{le groupe sportif est le plus homogène}
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