Comparer deux magasins : même moyenne, dispersions différentes

Magasin A : $\sum x_i = 20 + 22 + 24 + 25 + 26 + 28 + 30 = 175$, donc $\bar{x}_A = \dfrac{175}{7} = 25.$ Magasin B : $\sum x_i = 10 + 16 + 22 + 25 + 28 + 34 + 40 = 175$, donc $\bar{x}_B = \dfrac{175}{7} = 25.$ Les deux magasins ont exactement la même moyenne : $25$ milliers d'euros par mois.

Chaque série a un effectif $n = 7$ impair : la médiane est la valeur de rang $\dfrac{n+1}{2} = \dfrac{7+1}{2} = 4.$ Le $4^\text{e}$ terme vaut $25$ pour le magasin A comme pour le magasin B. Les deux médianes sont donc identiques : $M_A = M_B = 25.$

Le rang de $Q_{1}$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{n}{4} = \dfrac{7}{4} = 1{,}75$, soit le rang $2$. Le rang de $Q_{3}$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{3n}{4} = \dfrac{21}{4} = 5{,}25$, soit le rang $6$. Pour A : $Q_{1} = 22$ et $Q_{3} = 28$, donc $Q_{3} - Q_{1} = 28 - 22 = 6.$ Pour B : $Q_{1} = 16$ et $Q_{3} = 34$, donc $Q_{3} - Q_{1} = 34 - 16 = 18.$

Les deux magasins ont la même position (moyenne $25$, médiane $25$), mais des dispersions très différentes. L'écart interquartile vaut $6$ pour A contre $18$ pour B : la moitié centrale des mois est trois fois plus resserrée chez A. L'écart-type confirme : $\sigma_A \approx 3{,}2$ contre $\sigma_B \approx 9{,}5$, soit des chiffres d'affaires bien plus concentrés autour de la moyenne chez A.

Le magasin A a l'activité la plus régulière. À moyenne et médiane égales ($25$ milliers d'euros), son écart interquartile ($6$) et son écart-type ($\approx 3{,}2$) sont nettement plus faibles que ceux du magasin B (écart interquartile $18$, écart-type $\approx 9{,}5$). Le magasin B alterne au contraire des mois très faibles ($10$) et très forts ($40$) : son activité est beaucoup plus irrégulière. Cet exemple montre que la moyenne seule ne suffit pas : il faut toujours l'accompagner d'un indicateur de dispersion.