Première STMG · Chapitre 2

Statistiques descriptives : indicateurs de position et de dispersion

Cours de Première STMG sur les statistiques descriptives : moyenne, médiane, quartiles, étendue, écart interquartile, écart-type et diagramme en boîte. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première STMG - mathématiques (programme 2019) · Mis à jour en juin 2026

En gestion comme dans une enquête, on dispose souvent de beaucoup de données : salaires de l’entreprise, ventes mois par mois, notes de satisfaction des clients. Les statistiques descriptives servent à les résumer par quelques nombres bien choisis : des indicateurs de position qui disent où se situe le centre de la série, et des indicateurs de dispersion qui disent à quel point les valeurs sont étalées.

Ce que tu sauras faire

Je sais calculer une moyenne simple et une moyenne pondérée.
Je sais déterminer la médiane, le premier quartile $Q_{1}$ et le troisième quartile $Q_{3}$ par la méthode des rangs.
Je sais calculer l’étendue et l’écart interquartile $Q_{3} - Q_{1}$ , et lire l’écart-type à la calculatrice.
Je sais construire et lire un diagramme en boîte, et comparer deux séries.

À quoi ça sert ?

Imagine que tu gères un magasin. À la fin de l’année, tu as les ventes des $12$ mois et les notes de satisfaction de centaines de clients. Tu ne peux pas raisonner sur toute la liste : tu as besoin de résumés. La moyenne te dit le niveau global des ventes ; la médiane te dit le mois « central » sans te laisser tromper par un mois exceptionnel ; l’écart-type te dit si les ventes sont régulières ou en dents de scie. Ces indicateurs sont le langage de base de la gestion, du marketing et des enquêtes.

Indicateurs de position

Moyenne (simple et pondérée)

La moyenne d’une série de valeurs $x_i$ affectées des effectifs $n_i$ est : $\bar{x} = \frac{\sum n_i\, x_i}{\sum n_i}$ On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne tous les produits, puis on divise par l’effectif total $N = \sum n_i$ . Si chaque valeur n’apparaît qu’une seule fois, on retrouve la moyenne simple $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}$ .

Calculer une moyenne pondérée

Multiplier chaque valeur $x_i$ par son effectif (ou son coefficient) $n_i$ .
Additionner tous ces produits : on obtient $\sum n_i\, x_i$ .
Diviser par la somme des effectifs $\sum n_i$ , jamais par le nombre de valeurs distinctes.

Les effectifs jouent le rôle de poids : une valeur de poids élevé pèse davantage dans la moyenne.

Médiane

La médiane $M$ partage la série rangée dans l’ordre croissant en deux moitiés de même effectif : au moins la moitié des données lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. On range toujours la série avant de la chercher.

Trouver la médiane (méthode des rangs)

Ranger la série dans l’ordre croissant et compter l’effectif total $n$ .
Si $n$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\dfrac{n+1}{2}$ (la valeur du milieu).
Si $n$ est pair : la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $\dfrac{n}{2}$ et $\dfrac{n}{2}+1$ (les deux valeurs centrales).

Premier et troisième quartiles

Le premier quartile $Q_{1}$ est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $25\,\%$ des données lui sont inférieures ou égales. Le troisième quartile $Q_{3}$ est la plus petite valeur telle qu’au moins $75\,\%$ des données lui sont inférieures ou égales. Entre $Q_{1}$ et $Q_{3}$ se trouve donc la moitié centrale de la série.

Déterminer Q1 et Q3 (méthode des rangs)

Ranger la série dans l’ordre croissant et compter l’effectif total $n$ .
Rang de $Q_{1}$ : le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{n}{4}$ .
Rang de $Q_{3}$ : le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{3n}{4}$ .

Quand le quotient n’est pas entier, on arrondit à l’entier supérieur (par exemple un rang de $3{,}25$ donne le $4^\text{e}$ terme). Quand il est entier, on garde ce rang.

Indicateurs de dispersion

Étendue et écart interquartile

L’étendue mesure l’amplitude totale de la série : $\text{étendue} = x_{\max} - x_{\min}$ L’écart interquartile mesure l’amplitude de la moitié centrale des données : $\text{écart interquartile} = Q_{3} - Q_{1}$ L’étendue est sensible aux valeurs extrêmes ; l’écart interquartile, qui ignore les $25\,\%$ les plus bas et les $25\,\%$ les plus hauts, est beaucoup plus robuste.

Écart-type (à la calculatrice)

L’écart-type, noté $\sigma$ , mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : plus il est petit, plus les valeurs sont resserrées autour de $\bar{x}$ ; plus il est grand, plus elles sont dispersées. En STMG, on le lit directement à la calculatrice en mode statistiques (touche $\sigma_x$ ), après avoir saisi les valeurs et leurs effectifs.

Obtenir moyenne et écart-type à la calculatrice

Entrer en mode statistiques (menu STAT ou STATS).
Saisir les valeurs $x_i$ dans une liste et leurs effectifs $n_i$ dans une autre.
Lancer le calcul des statistiques à une variable : la calculatrice affiche $\bar{x}$ (moyenne) et $\sigma_x$ (écart-type).
Vérifier que l’effectif total $n$ affiché correspond bien à la somme attendue.

Diagramme en boîte

Le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) résume une série par cinq nombres : le minimum $x_{\min}$ , le premier quartile $Q_{1}$ , la médiane $M$ , le troisième quartile $Q_{3}$ et le maximum $x_{\max}$ . La boîte s’étend de $Q_{1}$ à $Q_{3}$ (elle contient la moitié centrale des données), une barre marque la médiane à l’intérieur, et deux moustaches rejoignent le minimum et le maximum.

Construire un diagramme en boîte

Calculer les cinq nombres : $x_{\min}$ , $Q_{1}$ , $M$ , $Q_{3}$ , $x_{\max}$ .
Tracer un axe gradué adapté à la série.
Dessiner la boîte de $Q_{1}$ à $Q_{3}$ et tracer le trait de la médiane $M$ à l’intérieur.
Prolonger par deux moustaches jusqu’à $x_{\min}$ et $x_{\max}$ .

Lire un diagramme en boîte

Pour une enquête de satisfaction notée de $0$ à $10$ , on lit sur le diagramme : $x_{\min} = 3$ , $Q_{1} = 6$ , $M = 7$ , $Q_{3} = 8$ , $x_{\max} = 10$ . On en déduit : l’étendue vaut $10 - 3 = 7$ , l’écart interquartile vaut $8 - 6 = 2$ . La boîte est étroite : la moitié centrale des clients donne une note entre $6$ et $8$ , donc les avis sont assez homogènes et plutôt satisfaits (médiane à $7$ ).

Comparer deux séries

Comparer position et dispersion

Pour comparer deux séries (deux magasins, deux années, deux enquêtes), on regarde deux choses à la fois :

la position (moyenne ou médiane) : quelle série a le centre le plus élevé ?
la dispersion (écart interquartile ou écart-type) : quelle série est la plus régulière ?

À position égale, la série dont la dispersion est la plus faible est la plus régulière (valeurs proches les unes des autres). La position seule ne suffit jamais : il faut aussi la dispersion.

Les pièges classiques

FAUX : diviser une moyenne pondérée par le nombre de valeurs distinctes. VRAI : on divise par la somme des effectifs $\sum n_i$ .
FAUX : chercher la médiane ou les quartiles sur une série non triée. VRAI : on range d’abord dans l’ordre croissant.
FAUX : pour un rang non entier, arrondir à l’entier le plus proche. VRAI : pour $Q_{1}$ et $Q_{3}$ , on arrondit toujours à l’entier supérieur.
FAUX : confondre étendue et écart interquartile. VRAI : l’étendue est $x_{\max} - x_{\min}$ ; l’écart interquartile est $Q_{3} - Q_{1}$ (la moitié centrale seulement).
FAUX : décrire une série avec la seule moyenne. VRAI : la moyenne peut cacher une forte dispersion ; on l’accompagne d’un indicateur de dispersion.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer la note moyenne d'une enquête de satisfaction

Un magasin demande à ses clients de noter leur satisfaction de $1$ à $5$ . Sur les $40$ réponses, la note $2$ a été donnée par $4$ clients, la note $3$ par $10$ clients, la note $4$ par $18$ clients et la note $5$ par $8$ clients. Calculer la note moyenne de satisfaction.

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Médiane et étendue des ventes mensuelles

Voici le chiffre d'affaires mensuel d'une boutique, en milliers d'euros, pour les $12$ mois de l'année, déjà rangé dans l'ordre croissant : $18\,;\ 21\,;\ 23\,;\ 24\,;\ 26\,;\ 28\,;\ 30\,;\ 31\,;\ 33\,;\ 35\,;\ 38\,;\ 42.$ 1) Déterminer la médiane de cette série. 2) Calculer l'étendue.

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Moyenne d'un bulletin avec coefficients

Sur son bulletin du trimestre, Léa a obtenu les moyennes suivantes, chaque matière étant affectée d'un coefficient : Mathématiques $12$ (coefficient $4$ ), Français $14$ (coefficient $3$ ), Histoire-géographie $11$ (coefficient $2$ ) et EPS $16$ (coefficient $1$ ). Calculer la moyenne générale de Léa.

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Les cinq nombres d'un diagramme en boîte (satisfaction)

Une enquête de satisfaction notée de $0$ à $20$ a recueilli $15$ réponses, déjà rangées dans l'ordre croissant : $5\,;\ 6\,;\ 8\,;\ 9\,;\ 10\,;\ 11\,;\ 11\,;\ 12\,;\ 13\,;\ 14\,;\ 15\,;\ 16\,;\ 17\,;\ 18\,;\ 20.$ Déterminer les cinq nombres nécessaires au diagramme en boîte : le minimum, $Q_{1}$ , la médiane $M$ , $Q_{3}$ et le maximum. Calculer aussi l'écart interquartile.

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Médiane et quartiles des abonnés gagnés sur TikTok

Pour suivre la croissance de son compte, un créateur note chaque jour le nombre de nouveaux abonnés gagnés sur TikTok pendant $14$ jours. La série, déjà rangée dans l'ordre croissant, est : $8\,;\ 12\,;\ 15\,;\ 18\,;\ 21\,;\ 24\,;\ 27\,;\ 30\,;\ 33\,;\ 36\,;\ 41\,;\ 47\,;\ 55\,;\ 70.$ 1) Déterminer la médiane $M.$ 2) Déterminer le premier quartile $Q_{1}$ et le troisième quartile $Q_{3}$ , puis l'écart interquartile. 3) Calculer l'étendue.

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Quartiles et écart interquartile d'une série de salaires

Dans une PME, on relève les salaires mensuels nets des $11$ employés, en euros, déjà rangés dans l'ordre croissant : $1500\,;\ 1650\,;\ 1700\,;\ 1800\,;\ 1850\,;\ 1950\,;\ 2100\,;\ 2200\,;\ 2400\,;\ 2600\,;\ 3200.$ 1) Déterminer le premier quartile $Q_{1}$ et le troisième quartile $Q_{3}.$ 2) En déduire l'écart interquartile.

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Bonus

Comparer deux magasins : même moyenne, dispersions différentes

Une enseigne compare le chiffre d'affaires mensuel de deux magasins sur $7$ mois, en milliers d'euros (séries déjà rangées). Magasin A : $20\,;\ 22\,;\ 24\,;\ 25\,;\ 26\,;\ 28\,;\ 30.$ Magasin B : $10\,;\ 16\,;\ 22\,;\ 25\,;\ 28\,;\ 34\,;\ 40.$ 1) Calculer la moyenne de chaque magasin. 2) Déterminer la médiane et l'écart interquartile $Q_{3} - Q_{1}$ de chaque magasin. 3) La calculatrice donne un écart-type $\sigma_A \approx 3{,}2$ pour A et $\sigma_B \approx 9{,}5$ pour B. Lequel des deux magasins a l'activité la plus régulière ? Justifier.

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Prix moyen et écart-type d'une revente de sneakers

Un revendeur de sneakers a écoulé $50$ paires sur une plateforme de revente. Le tableau donne le prix de vente $x_i$ (en euros) et le nombre de paires vendues $n_i$ à ce prix : prix $90$ pour $8$ paires, prix $110$ pour $14$ paires, prix $130$ pour $16$ paires, prix $150$ pour $10$ paires, prix $200$ pour $2$ paires. 1) Calculer le prix moyen de vente d'une paire. 2) La calculatrice donne un écart-type $\sigma \approx 24{,}8$ €. Déterminer l'intervalle $[\bar{x} - \sigma\,;\ \bar{x} + \sigma].$ 3) Le revendeur affirme : « la plupart de mes ventes se font autour de $125$ € ». Cet écart-type confirme-t-il que ses prix sont resserrés ou très dispersés ? Justifier.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un indicateur de position et un indicateur de dispersion ?

Un indicateur de position (moyenne, médiane, quartiles) résume où se situe le centre de la série : il donne une valeur représentative. Un indicateur de dispersion (étendue, écart interquartile, écart-type) mesure à quel point les valeurs sont étalées autour de ce centre. Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais des dispersions très différentes : c'est pour cela qu'on a besoin des deux types d'indicateurs pour décrire correctement une série.

Comment déterminer le premier et le troisième quartile par la méthode des rangs ?

On range d'abord la série dans l'ordre croissant et on note n l'effectif total. Le premier quartile Q indice 1 est la valeur dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à n divisé par 4. Le troisième quartile Q indice 3 est la valeur dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à 3 fois n divisé par 4. Quand le quotient n'est pas entier, on arrondit toujours à l'entier supérieur.

À quoi sert le diagramme en boîte ?

Le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) résume une série à l'aide de cinq nombres : le minimum, le premier quartile, la médiane, le troisième quartile et le maximum. La boîte centrale contient la moitié des données (entre Q indice 1 et Q indice 3) et sa largeur correspond à l'écart interquartile. Il permet de comparer rapidement plusieurs séries (position, dispersion, symétrie) sur un même graphique.