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Rêves Vision
Première STMG

Prix moyen et écart-type d'une revente de sneakers

Énoncé

Un revendeur de sneakers a écoulé 5050 paires sur une plateforme de revente. Le tableau donne le prix de vente xix_i (en euros) et le nombre de paires vendues nin_i à ce prix : prix 9090 pour 88 paires, prix 110110 pour 1414 paires, prix 130130 pour 1616 paires, prix 150150 pour 1010 paires, prix 200200 pour 22 paires. 1) Calculer le prix moyen de vente d'une paire. 2) La calculatrice donne un écart-type σ≈24,8\sigma \approx 24{,}8 €. Déterminer l'intervalle [xˉ−σ ; xˉ+σ].[\bar{x} - \sigma\,;\ \bar{x} + \sigma]. 3) Le revendeur affirme : « la plupart de mes ventes se font autour de 125125 € ». Cet écart-type confirme-t-il que ses prix sont resserrés ou très dispersés ? Justifier.
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  1. Vérifie d'abord l'effectif total : ∑ni=8+14+16+10+2\sum n_i = 8 + 14 + 16 + 10 + 2. Pour la moyenne, multiplie chaque prix par son nombre de paires, additionne, puis divise par cet effectif total (et non par 55).
  2. L'intervalle [xˉ−σ ; xˉ+σ][\bar{x} - \sigma\,;\ \bar{x} + \sigma] s'obtient en retranchant puis en ajoutant l'écart-type à la moyenne. Calcule xˉ−24,8\bar{x} - 24{,}8 et xˉ+24,8.\bar{x} + 24{,}8.
  3. Un écart-type est « grand » ou « petit » par rapport à la moyenne. Compare σ≈24,8\sigma \approx 24{,}8 € à xˉ\bar{x} : ici l'écart-type vaut environ un cinquième de la moyenne, et la plupart des paires se vendent dans l'intervalle trouvé, ce qui indique des prix plutôt resserrés malgré quelques paires à 200200 €.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Vérifier l'effectif total

    Les prix sont xi=90, 110, 130, 150, 200x_i = 90,\ 110,\ 130,\ 150,\ 200 et les effectifs ni=8, 14, 16, 10, 2.n_i = 8,\ 14,\ 16,\ 10,\ 2. L'effectif total vaut ∑ni=8+14+16+10+2=50\sum n_i = 8 + 14 + 16 + 10 + 2 = 50, ce qui correspond bien aux 5050 paires annoncées.

  2. 2. Calculer la somme pondérée des prix

    On multiplie chaque prix par le nombre de paires vendues à ce prix, puis on additionne : ∑ni xi=90×8+110×14+130×16+150×10+200×2=720+1540+2080+1500+400=6240.\sum n_i\, x_i = 90 \times 8 + 110 \times 14 + 130 \times 16 + 150 \times 10 + 200 \times 2 = 720 + 1540 + 2080 + 1500 + 400 = 6240.

  3. 3. Calculer le prix moyen

    xˉ=∑ni xi∑ni=624050=124,8.\bar{x} = \dfrac{\sum n_i\, x_i}{\sum n_i} = \dfrac{6240}{50} = 124{,}8. Le prix moyen de vente d'une paire est donc de 124,8124{,}8 €.

  4. 4. Déterminer l'intervalle moyenne plus ou moins écart-type

    Avec xˉ=124,8\bar{x} = 124{,}8 € et σ≈24,8\sigma \approx 24{,}8 €, on calcule les deux bornes : xˉ−σ=124,8−24,8=100\bar{x} - \sigma = 124{,}8 - 24{,}8 = 100 et xˉ+σ=124,8+24,8=149,6.\bar{x} + \sigma = 124{,}8 + 24{,}8 = 149{,}6. L'intervalle est donc [100 ; 149,6].[100\,;\ 149{,}6].

  5. 5. Interpréter la dispersion et conclure

    On compte les paires dont le prix tombe dans [100 ; 149,6][100\,;\ 149{,}6] : seuls les prix 110110 et 130130 conviennent (le prix 150150 dépasse la borne 149,6149{,}6), soit 14+16=3014 + 16 = 30 paires sur 50.50. Autrement dit, 60 %60\,\% des paires se vendent dans cet intervalle resserré autour de la moyenne. Surtout, l'écart-type σ≈24,8\sigma \approx 24{,}8 € ne représente qu'environ un cinquième de la moyenne 124,8124{,}8 €, ce qui est faible. Les prix sont donc plutôt resserrés : l'affirmation du revendeur est justifiée, la majorité des ventes se concentre autour de 125125 €, les rares paires vendues 200200 € restant des exceptions.
Réponse finale
xˉ=624050=124,8 €  ;  [xˉ−σ ; xˉ+σ]=[100 ; 149,6]  ;  σ≈24,8 € soit environ 15 de la moyenne : prix resserreˊs\bar{x} = \dfrac{6240}{50} = 124{,}8 \text{ €} \;;\; [\bar{x} - \sigma\,;\ \bar{x} + \sigma] = [100\,;\ 149{,}6] \;;\; \sigma \approx 24{,}8 \text{ € soit environ } \dfrac{1}{5} \text{ de la moyenne : prix resserrés}
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