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Rêves Vision
Première STMG

Comparer la croissance des vues de deux créateurs

Énoncé

Deux créateurs débutent leur chaîne le même mois. On compte leurs vues mensuelles en milliers.

Pour le créateur A, le nombre de vues part de 800800 milliers et augmente toujours de 200200 milliers chaque mois : on le modélise par la suite (an)(a_n) avec a0=800a_0 = 800.

Pour le créateur B, le nombre de vues part de 400400 milliers et augmente de 50 %50\,\% chaque mois : on le modélise par la suite (bn)(b_n) avec b0=400b_0 = 400.

1. Donner la nature de chaque suite, puis exprimer ana_n et bnb_n en fonction de nn.
2. Calculer a3a_3, b3b_3, a4a_4 et b4b_4.
3. Au bout de combien de mois le créateur B dépasse-t-il pour la première fois le créateur A ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Augmenter de 50 %50\,\%, c'est multiplier par un coefficient multiplicateur : lequel ? La suite de B est-elle arithmétique ou géométrique ?
  2. Écris les deux termes généraux an=800+200 na_n = 800 + 200\,n et bn=400×1,5 nb_n = 400 \times 1{,}5^{\,n}, puis dresse un petit tableau de valeurs pour n=0,1,2,3,4n = 0, 1, 2, 3, 4.
  3. Repère le premier rang nn où bnb_n devient strictement supérieur à ana_n : compare a3a_3 avec b3b_3, puis a4a_4 avec b4b_4.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Nature des deux suites

    Pour le créateur A, on ajoute toujours 200200 : an+1=an+200a_{n+1} = a_n + 200, donc (an)(a_n) est arithmeˊtique\textbf{arithmétique} de raison r=200r = 200. D'après la formule an=a0+n ra_n = a_0 + n\,r, on obtient an=800+200 na_n = 800 + 200\,n.

    Pour le créateur B, augmenter de 50 %50\,\% revient à multiplier par CM=1+50100=1,5\text{CM} = 1 + \dfrac{50}{100} = 1{,}5, donc bn+1=1,5×bnb_{n+1} = 1{,}5 \times b_n : (bn)(b_n) est geˊomeˊtrique\textbf{géométrique} de raison q=1,5q = 1{,}5. D'après la formule bn=b0×q nb_n = b_0 \times q^{\,n}, on obtient bn=400×1,5 nb_n = 400 \times 1{,}5^{\,n}.

  2. 2. Calculer les termes au 3e et au 4e mois

    Pour le créateur A : a3=800+200×3=1 400a_3 = 800 + 200 \times 3 = 1\,400 et a4=800+200×4=1 600.a_4 = 800 + 200 \times 4 = 1\,600.

    Pour le créateur B : b3=400×1,53=400×3,375=1 350b_3 = 400 \times 1{,}5^{3} = 400 \times 3{,}375 = 1\,350 et b4=400×1,54=400×5,0625=2 025.b_4 = 400 \times 1{,}5^{4} = 400 \times 5{,}0625 = 2\,025.

  3. 3. Comparer mois par mois

    Au 3e3^{\text{e}} mois, b3=1 350<a3=1 400b_3 = 1\,350 < a_3 = 1\,400 : le créateur B est encore derrière. Au 4e4^{\text{e}} mois, b4=2 025>a4=1 600b_4 = 2\,025 > a_4 = 1\,600 : le créateur B passe devant. C'est donc entre le 3e3^{\text{e}} et le 4e4^{\text{e}} mois que B rattrape puis dépasse A.

  4. 4. Conclure

    Le plus petit entier nn pour lequel bn>anb_n > a_n est n=4n = 4. La croissance géométrique de B (multiplication par 1,51{,}5) finit par l'emporter sur la croissance arithmétique de A (ajout de 200200).

    C’est aˋ partir du 4e mois que le creˊateur B deˊpasse le creˊateur A.\textbf{C'est à partir du 4}^{\textbf{e}} \textbf{ mois que le créateur B dépasse le créateur A.}
Réponse finale
an=800+200 n, bn=400×1,5 n ;bn>an pour la premieˋre fois aˋ n=4a_n = 800 + 200\,n,\ b_n = 400 \times 1{,}5^{\,n}\ ;\quad b_n > a_n \text{ pour la première fois à } n = 4
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