Première STMG · Chapitre 3

Suites arithmétiques et géométriques

Cours de Première STMG sur les suites arithmétiques et géométriques : raison, terme général, sens de variation et modélisation d'une épargne ou d'abonnés, avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première STMG - mathématiques (programme 2019) · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Proportionnalité et pourcentages

En STMG, les suites servent surtout à modéliser une évolution dans le temps : un capital placé, le prix d’un abonnement, le nombre d’abonnés d’une page. Deux modèles reviennent sans arrêt : soit on ajoute toujours la même chose (arithmétique, croissance linéaire), soit on multiplie toujours par la même chose (géométrique, croissance exponentielle).

À la fin de ce chapitre, je sais…

reconnaître si une suite est arithmétique ou géométrique ;
calculer un terme avec la formule du terme général ;
déterminer le sens de variation d’une suite ;
traduire une évolution en pourcentage par une suite géométrique ;
choisir le bon modèle pour une situation économique concrète.

À quoi ça sert ?

Tu places $1\,000$ € sur un livret à $3\,\%$ par an : l’an prochain tu auras $1\,030$ €, puis tu gagneras des intérêts sur les intérêts. C’est une suite géométrique. À côté, un abonnement de streaming qui augmente de $1$ € chaque année suit, lui, une suite arithmétique. Savoir distinguer les deux, c’est savoir prévoir un budget, comparer deux offres ou anticiper une croissance.

Suite arithmétique

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ : $u_{n+1} = u_n + r$ Le nombre $r$ peut être positif (la suite augmente) ou négatif (la suite diminue).

Terme général d'une suite arithmétique

Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$ , alors pour tout entier $n$ : $u_n = u_0 + n\,r$ Si la suite démarre à $u_1$ , on utilise plutôt $u_n = u_1 + (n - 1)\,r$ .

Suite géométrique

Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ (avec $q \neq 0$ ) si l’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ : $u_{n+1} = q \times u_n$

Terme général d'une suite géométrique

Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ , alors pour tout entier $n$ : $u_n = u_0 \times q^{\,n}$ Si la suite démarre à $u_1$ , on utilise $u_n = u_1 \times q^{\,n-1}$ .

Évolution en pourcentage et suite géométrique

Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par le coefficient multiplicateur : $\text{CM} = 1 + \dfrac{t}{100}$ Diminuer de $t\,\%$ revient à multiplier par $\text{CM} = 1 - \dfrac{t}{100}$ .

Si une grandeur subit le même taux d’évolution à chaque étape, alors elle est géométrique de raison $q = \text{CM}$ .

Sens de variation

Suite arithmétique : le sens dépend du signe de $r$ . Si $r > 0$ elle est croissante, si $r < 0$ elle est décroissante.
Suite géométrique de premier terme positif : si $q > 1$ elle est croissante, si $0 < q < 1$ elle est décroissante.

Reconnaître la nature d'une suite

Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ entre deux termes consécutifs : si elle est constante, la suite est arithmétique et cette constante est la raison $r$ .
Sinon, calculer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ : s’il est constant, la suite est géométrique et ce quotient est la raison $q$ .

Exemple : épargne contre abonnement

Épargne. On place $1\,000$ € à $3\,\%$ par an. La raison est $q = 1 + \dfrac{3}{100} = 1{,}03$ et $u_0 = 1\,000$ . Au bout de $2$ ans : $u_2 = 1\,000 \times 1{,}03^{\,2} = 1\,060{,}90 \text{ €}.$

Abonnement. Un abonnement coûte $120$ € la première année puis augmente de $6$ € par an. La raison est $r = 6$ et $u_1 = 120$ . La cinquième année : $u_5 = 120 + (5 - 1) \times 6 = 144 \text{ €}.$

À ne pas confondre

FAUX : « augmenter de $3\,\%$ , c’est ajouter $3$ ». VRAI : c’est multiplier par $1{,}03$ (donc une suite géométrique, pas arithmétique).
Arithmétique : on ajoute la raison. Géométrique : on multiplie par la raison.
Attention à l’indexation : selon que la suite commence à $u_0$ ou $u_1$ , la formule change ( $u_n = u_0 + nr$ ou $u_n = u_1 + (n-1)r$ ).

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Épargne : calculer un terme d'une suite géométrique

On place un capital de $2\,000$ € sur un livret rémunéré à $4\,\%$ par an (intérêts composés). On note $u_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années, donc $u_0 = 2\,000$ .

1. Justifier que $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison $q$ .
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_3$ (arrondi au centime).

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Reconnaître une suite et calculer un terme

Une plateforme de streaming ajoute chaque mois le même nombre de nouvelles séries à son catalogue. Au départ, le catalogue compte $80$ séries, et chaque mois on en ajoute $5$ . On note $u_n$ le nombre de séries au bout de $n$ mois, donc $u_0 = 80$ et $u_{n+1} = u_n + 5$ .

1. Déterminer la nature de la suite $(u_n)$ et sa raison.
2. Calculer $u_4$ , le nombre de séries au bout de $4$ mois.

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Stockage cloud d'un créateur de contenu

Un créateur de contenu archive ses vidéos sur un espace de stockage en ligne. Au moment où il ouvre son compte, il a déjà rempli $256$ Go, et chaque mois il ajoute toujours $18$ Go de nouvelles vidéos. On note $u_n$ l'espace occupé, en Go, au bout de $n$ mois, donc $u_0 = 256$ .

1. Justifier que $(u_n)$ est arithmétique et donner sa raison $r$ .
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_8$ , l'espace occupé au bout de $8$ mois.

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Cote de revente d'une paire de sneakers

Une paire de sneakers en édition limitée vaut $220$ € à sa sortie. Sur le marché de la revente, sa cote perd ensuite $12\,\%$ chaque année. On note $u_n$ la cote de la paire, en euros, au bout de $n$ années, donc $u_0 = 220$ .

1. Justifier que $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison $q$ .
2. Étudier le sens de variation de $(u_n)$ .
3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_4$ , la cote au bout de $4$ années (arrondi au centime).

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Salaire annuel et taux d'évolution constant

À son embauche, une salariée gagne $25\,000$ € sur l'année. Son employeur lui garantit une augmentation de $2\,\%$ chaque année. On note $u_n$ son salaire annuel, en euros, au bout de $n$ années, donc $u_0 = 25\,000$ .

1. Expliquer pourquoi la suite $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison $q$ .
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
3. Calculer le salaire annuel $u_5$ au bout de $5$ années (arrondi au centime).

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Sens de variation de deux suites

Une entreprise suit deux indicateurs commerciaux.

1. Le nombre de clients qui résilient leur contrat chaque mois est modélisé par la suite $(u_n)$ arithmétique de premier terme $u_0 = 50$ et de raison $r = -3$ . Étudier le sens de variation de $(u_n)$ , puis calculer $u_6$ .

2. Le nombre d'abonnés à sa page, en milliers, est modélisé par la suite $(v_n)$ géométrique de premier terme $v_0 = 300$ et de raison $q = 1{,}08$ . Étudier le sens de variation de $(v_n)$ , puis calculer $v_4$ (arrondi au centième).

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Comparer la croissance des vues de deux créateurs

Deux créateurs débutent leur chaîne le même mois. On compte leurs vues mensuelles en milliers.

Pour le créateur A, le nombre de vues part de $800$ milliers et augmente toujours de $200$ milliers chaque mois : on le modélise par la suite $(a_n)$ avec $a_0 = 800$ .

Pour le créateur B, le nombre de vues part de $400$ milliers et augmente de $50\,\%$ chaque mois : on le modélise par la suite $(b_n)$ avec $b_0 = 400$ .

1. Donner la nature de chaque suite, puis exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$ .
2. Calculer $a_3$ , $b_3$ , $a_4$ et $b_4$ .
3. Au bout de combien de mois le créateur B dépasse-t-il pour la première fois le créateur A ?

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Bonus

Recherche d'un seuil : abonnés d'une page

Une page professionnelle compte $4\,000$ abonnés au lancement de sa campagne. Grâce à ses publications, ce nombre augmente de $15\,\%$ chaque mois. On note $u_n$ le nombre d'abonnés au bout de $n$ mois, donc $u_0 = 4\,000$ .

1. Justifier que $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison $q$ .
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
3. À partir de combien de mois le nombre d'abonnés dépassera-t-il $8\,000$ ? Vérifier en calculant les termes qui encadrent ce seuil.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Quand utilise-t-on une suite arithmétique plutôt que géométrique en STMG ?

On choisit une suite arithmétique quand une quantité augmente ou diminue d'un montant fixe à chaque étape, par exemple un salaire qui augmente de 900 euros par an. On choisit une suite géométrique quand elle évolue d'un pourcentage fixe, par exemple un capital placé à 3 pour cent par an.

Quel est le lien entre un taux d'évolution constant et une suite géométrique ?

Une évolution de t pour cent revient à multiplier par le coefficient multiplicateur 1 + t divisé par 100. Si ce coefficient est le même à chaque étape, la grandeur est une suite géométrique dont la raison q est ce coefficient multiplicateur.

Comment calculer un terme d'une suite géométrique en STMG ?

Pour une suite géométrique de premier terme u indice 0 et de raison q, le terme général est u indice n = u indice 0 multiplié par q puissance n. On obtient u indice 5 en calculant u indice 0 fois q puissance 5 à la calculatrice.