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Rêves Vision
Première STMG

Épargne : calculer un terme d'une suite géométrique

Énoncé

On place un capital de 2 0002\,000 € sur un livret rémunéré à 4 %4\,\% par an (intérêts composés). On note unu_n le capital, en euros, au bout de nn années, donc u0=2 000u_0 = 2\,000.

1. Justifier que (un)(u_n) est géométrique et donner sa raison qq.
2. Exprimer unu_n en fonction de nn, puis calculer u3u_3 (arrondi au centime).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Nature de la suite

    Augmenter de 4 %4\,\% revient à multiplier par le coefficient multiplicateur 1+4100=1,041 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04. On a donc un+1=1,04×unu_{n+1} = 1{,}04 \times u_n : la suite (un)(u_n) est geˊomeˊtrique\textbf{géométrique} de raison q=1,04q = 1{,}04 et de premier terme u0=2 000u_0 = 2\,000.

  2. 2. Terme général

    Pour une suite géométrique, un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}, donc un=2 000×1,04 n.u_n = 2\,000 \times 1{,}04^{\,n}.

  3. 3. Calculer le capital après 3 ans

    Pour n=3n = 3 : u3=2 000×1,043=2 000×1,124864=2 249,728.u_3 = 2\,000 \times 1{,}04^{3} = 2\,000 \times 1{,}124864 = 2\,249{,}728.

    Au bout de 3 ans, le capital vaut environ 2 249,73 €.\textbf{Au bout de 3 ans, le capital vaut environ 2 249,73 €.}
Réponse finale
un=2 000×1,04 netu3≈2 249,73 €u_n = 2\,000 \times 1{,}04^{\,n} \quad\text{et}\quad u_3 \approx 2\,249{,}73\ \text{€}
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