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Rêves Vision
Première STMG

Salaire annuel et taux d'évolution constant

Énoncé

À son embauche, une salariée gagne 25 00025\,000 € sur l'année. Son employeur lui garantit une augmentation de 2 %2\,\% chaque année. On note unu_n son salaire annuel, en euros, au bout de nn années, donc u0=25 000u_0 = 25\,000.

1. Expliquer pourquoi la suite (un)(u_n) est géométrique et donner sa raison qq.
2. Exprimer unu_n en fonction de nn.
3. Calculer le salaire annuel u5u_5 au bout de 55 années (arrondi au centime).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Du taux d'évolution à la raison

    Une augmentation de 2 %2\,\% revient à multiplier par le coefficient multiplicateur CM=1+2100=1,02\text{CM} = 1 + \dfrac{2}{100} = 1{,}02. Comme ce taux est le même chaque année, on a un+1=1,02×unu_{n+1} = 1{,}02 \times u_n : la suite (un)(u_n) est geˊomeˊtrique\textbf{géométrique} de raison q=1,02q = 1{,}02.

  2. 2. Terme général

    Pour une suite géométrique, un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}, donc un=25 000×1,02 n.u_n = 25\,000 \times 1{,}02^{\,n}.

  3. 3. Calculer le salaire après 5 ans

    Pour n=5n = 5 : u5=25 000×1,025=25 000×1,10408080…≈27 602,02.u_5 = 25\,000 \times 1{,}02^{5} = 25\,000 \times 1{,}10408080\ldots \approx 27\,602{,}02.

    Au bout de 5 ans, le salaire annuel est d’environ 27 602,02 €.\textbf{Au bout de 5 ans, le salaire annuel est d'environ 27 602,02 €.}
Réponse finale
un=25 000×1,02 netu5≈27 602,02 €u_n = 25\,000 \times 1{,}02^{\,n} \quad\text{et}\quad u_5 \approx 27\,602{,}02\ \text{€}
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