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Rêves Vision
Première

Maximiser une recette (problème)

Énoncé

Une créatrice de contenu vend un sticker personnalisé en ligne. Une étude montre qu'au prix de pp euros l'unité (avec 0<p<300 < p < 30), elle en vend 120−4p120 - 4p par jour. La recette quotidienne, en euros, est donc R(p)=p (120−4p)R(p) = p\,(120 - 4p). Quel prix de vente rend la recette maximale, et combien vaut cette recette ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par développer R(p)=p (120−4p)R(p) = p\,(120 - 4p) pour reconnaître un trinôme ap2+bp+cap^2 + bp + c.
  2. Le coefficient aa est négatif : la recette atteint donc un maximum au sommet de la parabole.
  3. L'abscisse du sommet vaut α=−b2a\alpha = \dfrac{-b}{2a} ; calcule ensuite R(α)R(\alpha) pour obtenir la recette maximale.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Développer la recette

    On développe : R(p)=p (120−4p)=120p−4p2=−4p2+120p.R(p) = p\,(120 - 4p) = 120p - 4p^2 = -4p^2 + 120p. C'est un trinôme du second degré en pp avec a=−4a = -4, b=120b = 120 et c=0c = 0.

  2. 2. Justifier l'existence d'un maximum

    Comme a=−4<0a = -4 < 0, la parabole est tournée vers le bas : la fonction RR admet un maximum, atteint à l'abscisse du sommet α=−b2a.\alpha = \dfrac{-b}{2a}.

  3. 3. Calculer le prix optimal

    α=−b2a=−1202×(−4)=−120−8=15.\alpha = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-120}{2 \times (-4)} = \dfrac{-120}{-8} = 15. Cette valeur appartient bien à l'intervalle ] 0  ;  30[\left]\,0\;;\;30\right[.

  4. 4. Calculer la recette maximale et conclure

    R(15)=15×(120−4×15)=15×(120−60)=15×60=900.R(15) = 15 \times (120 - 4 \times 15) = 15 \times (120 - 60) = 15 \times 60 = 900. La recette est donc maximale pour un prix de 1515 € l'unité, et vaut alors 900900 € par jour.
Réponse finale
Rmax⁡=900 € pour p=15 €R_{\max} = 900\ \text{€ pour } p = 15\ \text{€}
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