Résoudre une inéquation du second degré

On pose $f(x) = x^2 + x - 6$ avec $a = 1$, $b = 1$ et $c = -6$. $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25 > 0.$ Le trinôme admet donc deux racines distinctes.

$\sqrt{\Delta} = 5$, donc $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 - 5}{2} = -3$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2.$

Comme $a = 1 > 0$, le trinôme est du signe de $a$ (positif) à l'extérieur des racines et négatif entre les racines $-3$ et $2$. On cherche les $x$ tels que $f(x) > 0$ : ils sont à l'extérieur des racines (bornes exclues car l'inégalité est stricte).

L'ensemble des solutions est $S = \left]-\infty\;;\;-3\right[ \cup \left]\,2\;;\;+\infty\right[$.