Quatrième
Prouver une égalité, puis en tester une autre
Énoncé
On considère l'expression . Première question : montrer, en développant, que pour tout nombre on a . Deuxième question : un élève affirme que . En testant la valeur , montrer que cette deuxième affirmation est fausse.
Besoin d'un coup de pouce ?
- Pour la première question, développe avec la double distributivité : il y a produits à écrire, puis tu réduis les termes du milieu.
- Pour la deuxième question, « tester » veut dire remplacer par dans les deux écritures et comparer les deux résultats obtenus.
- Si les deux résultats sont différents pour une seule valeur de , alors l'égalité ne peut pas être vraie pour tout : elle est fausse.
Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.
Voir le corrigé détaillé
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1. Développer A avec la double distributivité
On développe . D'après la double distributivité , on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde : -
2. Effectuer les produits et réduire
On calcule chaque produit : , , et , donc On regroupe les termes de même nature et : . On obtient donc La première égalité est ainsi prouvée pour tout nombre . -
3. Tester la deuxième affirmation pour x égal à 2
On veut savoir si l'égalité peut être vraie. On remplace par dans les deux écritures. Avec la forme prouvée, (on peut aussi vérifier directement : ). Avec l'écriture proposée par l'élève : -
4. Comparer et conclure
Pour , le vrai résultat est alors que l'écriture de l'élève donne . Les deux résultats sont différents (), donc l'égalité est fausse : elle échoue dès la valeur . L'affirmation est donc fausse, et la seule écriture correcte est .
Réponse finale
Ta progression