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Rêves Vision
Quatrième

La découpe de la planche à l'atelier

Énoncé

Dans un atelier de menuiserie, on part d'une planche de bois prise comme unité de longueur. On utilise d'abord les 34\frac{3}{4} de la planche pour fabriquer une étagère. Sur cette partie, seuls les 23\frac{2}{3} servent réellement aux tablettes, le reste étant perdu en chutes. Enfin, la longueur destinée aux tablettes est sciée en morceaux mesurant chacun 18\frac{1}{8} de planche. Combien de morceaux de tablette obtient-on ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Traite l'énoncé en deux temps : d'abord la longueur des tablettes (une fraction d'une fraction), puis le nombre de morceaux (une division).
  2. « Les 23\frac{2}{3} des 34\frac{3}{4} de la planche » se traduit par une multiplication : 23×34\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}. Tu peux simplifier le 33 du haut avec le 33 du bas avant de multiplier.
  3. Pour le nombre de morceaux, cherche combien de fois 18\frac{1}{8} de planche tient dans la longueur des tablettes : c'est une division par 18\frac{1}{8}, donc une multiplication par son inverse 88.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la longueur des tablettes

    Les tablettes représentent les 23\frac{2}{3} de la part 34\frac{3}{4} utilisée pour l'étagère. Prendre une fraction d'une fraction, c'est multiplier : la longueur des tablettes est 23×34.\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}.

  2. 2. Effectuer le produit en simplifiant

    Le facteur 33 apparaît au numérateur de la première fraction et au dénominateur de la seconde : on le simplifie avant de multiplier. 23×34=2×33×4=24=12.\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times \cancel{3}}{\cancel{3} \times 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. Les tablettes occupent donc 12\frac{1}{2} de la planche.

  3. 3. Repérer l'opération pour le nombre de morceaux

    On cherche maintenant combien de fois un morceau de 18\frac{1}{8} de planche tient dans la longueur 12\frac{1}{2} des tablettes. « Combien de fois une quantité tient dans une autre » se traduit par une division : on calcule 1218.\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{8}}.

  4. 4. Diviser par une fraction

    Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. L'inverse de 18\frac{1}{8} est 88, donc : 1218=12×81=1×82×1=82.\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \times \frac{8}{1} = \frac{1 \times 8}{2 \times 1} = \frac{8}{2}.

  5. 5. Simplifier et conclure

    On simplifie : 82=4\frac{8}{2} = 4 car 8=4×28 = 4 \times 2. Le résultat est un nombre entier, ce qui est cohérent puisqu'on obtient un nombre exact de morceaux. On obtient donc 44 morceaux de tablette.
Réponse finale
23×34=12;1218=12×8=82=4\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \quad ; \quad \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \times 8 = \frac{8}{2} = 4
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