Quatrième · Chapitre 2

Multiplication et division de fractions

Cours de Quatrième sur la multiplication et la division de fractions : multiplier deux fractions, inverse d'un nombre, diviser en multipliant par l'inverse, simplifier. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de quatrième · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Opérations sur les fractions

Combien de TikTok peux-tu regarder avec les deux tiers de ton forfait, sachant que chaque vidéo grignote une petite part de tes Go ? Quelle fraction d’un pack EA FC ouvres-tu si tu n’en entames qu’une partie ? Dès qu’on prend une part d’une part, ou qu’on partage une fraction, on multiplie ou on divise des fractions. Bonne nouvelle : c’est souvent plus simple que l’addition, car ici pas besoin du même dénominateur.

Ce que tu sauras faire à la fin

Je sais multiplier deux fractions (numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux).
Je sais donner l’inverse d’un nombre ou d’une fraction.
Je sais diviser par une fraction en multipliant par son inverse.
Je sais simplifier avant de calculer pour éviter les gros nombres.
Je sais enchaîner ces opérations dans un petit problème concret.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Tu utilises ça sans t’en rendre compte :

prendre les trois quarts d’une recette quand tu n’as pas assez de farine ;
calculer quelle part de ta classe a TikTok quand on enchaîne deux pourcentages ;
répartir une monnaie de jeu (V-Bucks, pièces) entre plusieurs achats ;
savoir combien de fois une vidéo de $\frac{2}{3}$ de Go tient dans ton forfait restant.

Multiplier, c’est prendre une part d’une part. Diviser, c’est partager une fraction. Une seule règle à retenir pour la division, et tout devient une multiplication.

1. Multiplier deux fractions

Produit de deux fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$ avec $b \neq 0$ et $d \neq 0$ .

Contrairement à l’addition, pas besoin du même dénominateur : c’est plus rapide.

Un premier calcul

Calculons $\frac{2}{3} \times \frac{3}{5}$ .

$\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{2 \times 3}{3 \times 5} = \frac{6}{15}.$

On simplifie ensuite : $6$ et $15$ sont tous les deux divisibles par $3$ , donc $\frac{6}{15} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{2}{5}.$

Simplifier AVANT de multiplier

Plutôt que de calculer $\frac{6}{15}$ puis de simplifier, on peut barrer un facteur commun avant de multiplier. Ici le $3$ du haut et le $3$ du bas se simplifient directement : $\frac{2}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{3}}{5} = \frac{2}{5}.$ Avantage : on manipule des petits nombres, donc moins d’erreurs. À privilégier dès que tu vois un facteur commun entre un numérateur et un dénominateur.

2. L’inverse d’un nombre

Inverse d'un nombre

L’inverse d’un nombre non nul est le nombre par lequel il faut le multiplier pour obtenir $1$ .

L’inverse de la fraction $\frac{a}{b}$ (avec $a \neq 0$ et $b \neq 0$ ) s’obtient en échangeant le numérateur et le dénominateur : c’est $\frac{b}{a}$ .
L’inverse d’un entier $n$ non nul est $\frac{1}{n}$ (par exemple, l’inverse de $5$ est $\frac{1}{5}$ ).

Le nombre $0$ n’a pas d’inverse.

Vérifier un inverse

L’inverse de $\frac{4}{7}$ est $\frac{7}{4}$ . On vérifie en multipliant : $\frac{4}{7} \times \frac{7}{4} = \frac{4 \times 7}{7 \times 4} = \frac{28}{28} = 1.$ On obtient bien $1$ : $\frac{7}{4}$ est donc l’inverse de $\frac{4}{7}$ .

3. Diviser par une fraction

Diviser, c'est multiplier par l'inverse

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. $\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ (avec $b$ , $c$ et $d$ non nuls).

On garde la première fraction, on remplace la division par une multiplication, et on retourne la seconde fraction.

Calculer une division de fractions

Garder la première fraction telle quelle.
Transformer le signe de division en signe de multiplication.
Écrire l’inverse de la seconde fraction (échanger haut et bas).
Multiplier, puis simplifier (idéalement, simplifier avant de multiplier).

Exemple : $\dfrac{\frac{5}{6}}{\frac{2}{3}} = \frac{5}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{5 \times 3}{6 \times 2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}.$

La même division, en simplifiant avant

Reprenons la division de $\frac{5}{6}$ par $\frac{2}{3}$ . Après avoir transformé en multiplication, on simplifie le $3$ avec le $6$ ( $6 = 3 \times 2$ ) : $\frac{5}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{\cancel{6}_{\,2}} \times \frac{\cancel{3}}{2} = \frac{5}{2 \times 2} = \frac{5}{4}.$ On retrouve bien $\frac{5}{4}$ , mais sans jamais écrire $\frac{15}{12}$ .

4. Enchaîner les opérations

Une part d'une part

Prendre une fraction d’une fraction, c’est multiplier ces deux fractions.

Par exemple, « les $\frac{3}{4}$ des $\frac{2}{3}$ d’un groupe » se calcule par : $\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{3 \times 2}{4 \times 3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}.$ Le mot « de » (ou « des ») entre deux fractions se traduit donc par un $\times$ .

Résoudre un petit problème de fractions

Repérer ce qu’on cherche : souvent une part d’un tout (une fraction du tout de départ).
Traduire chaque « de / des » par une multiplication.
Calculer le produit (en simplifiant avant si possible).
Donner la fraction finale simplifiée, et conclure par une phrase.

Les pièges à éviter

Chercher le même dénominateur pour multiplier. ~~Pour calculer $\frac{2}{3} \times \frac{3}{5}$ , il faut d’abord mettre au même dénominateur.~~ C’est faux. Le même dénominateur sert pour l’addition et la soustraction, jamais pour la multiplication : on multiplie directement haut par haut et bas par bas, $\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ .
Retourner la mauvaise fraction dans une division. ~~Pour diviser $\frac{5}{6}$ par $\frac{2}{3}$ , on retourne la première : $\frac{6}{5} \times \frac{2}{3}$ .~~ C’est faux. On garde la première et on retourne celle qui suit le signe de division : $\frac{5}{6} \times \frac{3}{2}$ .
Oublier de simplifier. Une réponse comme $\frac{6}{15}$ n’est pas terminée : il faut donner $\frac{2}{5}$ . Une fraction se rend toujours sous sa forme la plus simple.
Confondre « inverse » et « opposé ». L’opposé de $\frac{4}{7}$ est $-\frac{4}{7}$ (on change le signe) ; son inverse est $\frac{7}{4}$ (on échange haut et bas). Ce ne sont pas les mêmes choses.

Le réflexe qui sauve

Avant de te lancer, repère l’opération :

une multiplication entre deux fractions → multiplie tout de suite (haut par haut, bas par bas), pas de dénominateur commun ;
une division → transforme en multiplication par l’inverse de la seconde fraction, puis multiplie.

Et dans les deux cas : cherche un facteur commun à simplifier avant de multiplier. Tes nombres restent petits, tes calculs restent justes.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Donner l'inverse de quatre septièmes

Quel est l'inverse de la fraction $\frac{4}{7}$  ? Vérifier la réponse par un calcul.

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Les quatre cinquièmes d'un pack EA FC

Dans EA FC, un gros pack contient une certaine quantité de pièces. Tu en dépenses d'abord $\frac{5}{6}$ pour acheter des joueurs, puis tu te rends compte que seuls les $\frac{4}{5}$ de cette dépense ont servi à des joueurs que tu gardes vraiment. Quelle fraction du pack de départ correspond aux joueurs que tu gardes ?

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Multiplier deux tiers par trois cinquièmes

Calculer le produit $\frac{2}{3} \times \frac{3}{5}$ et donner le résultat sous forme de fraction simplifiée.

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Combien de vidéos tiennent dans le stockage

Il te reste $\frac{9}{2}$ Go de stockage libre sur ton téléphone. Chaque vidéo que tu télécharges pèse exactement $\frac{3}{4}$ de Go. Combien de vidéos entières peux-tu télécharger avant de saturer la mémoire ?

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Diviser cinq sixièmes par deux tiers

Calculer le quotient de $\frac{5}{6}$ par $\frac{2}{3}$ et donner le résultat sous forme de fraction simplifiée.

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La fraction de la classe qui a TikTok

Dans une classe de 4e, les $\frac{2}{3}$ des élèves ont un smartphone. Parmi ceux qui ont un smartphone, $\frac{3}{4}$ ont l'application TikTok. Quelle fraction de la classe entière a TikTok ?

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La découpe de la planche à l'atelier

Dans un atelier de menuiserie, on part d'une planche de bois prise comme unité de longueur. On utilise d'abord les $\frac{3}{4}$ de la planche pour fabriquer une étagère. Sur cette partie, seuls les $\frac{2}{3}$ servent réellement aux tablettes, le reste étant perdu en chutes. Enfin, la longueur destinée aux tablettes est sciée en morceaux mesurant chacun $\frac{1}{8}$ de planche. Combien de morceaux de tablette obtient-on ?

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Bonus

Les deux tiers de la recette de cookies

Une recette de cookies pour toute la classe utilise $\frac{3}{4}$ d'un paquet de farine. Tu n'as pas le temps de tout préparer, alors tu réalises seulement $\frac{2}{3}$ de la recette. Quelle fraction du paquet de farine vas-tu utiliser ?

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Questions fréquentes

Comment multiplier deux fractions ?

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Par exemple, deux tiers multiplié par trois cinquièmes donne six sur quinze, que l'on simplifie ensuite en deux cinquièmes. Il n'est pas nécessaire d'avoir le même dénominateur, contrairement à l'addition.

Qu'est-ce que l'inverse d'un nombre ?

L'inverse d'un nombre non nul est le nombre par lequel il faut le multiplier pour obtenir un. Pour une fraction, on échange le numérateur et le dénominateur : l'inverse de quatre septièmes est sept quarts. L'inverse de cinq est un cinquième. Le nombre zéro n'a pas d'inverse.

Comment diviser par une fraction ?

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Pour calculer cinq sixièmes divisé par deux tiers, on garde la première fraction et on multiplie par l'inverse de la seconde, c'est-à-dire trois demis. On obtient quinze douzièmes, soit cinq quarts après simplification.