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Rêves Vision
Quatrième

Exactement une victoire en ranked

Énoncé

Un joueur enchaîne deux parties classées (« ranked ») à la suite. D'après ses statistiques, il gagne chaque partie avec une probabilité de 23\dfrac{2}{3}, et le résultat d'une partie n'influence pas l'autre. On note VV une victoire et DD une défaite. 1) Construire l'arbre de probabilité de ces deux parties. 2) En déduire la probabilité que le joueur gagne exactement une des deux parties.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour une partie, P(V)=23P(V) = \dfrac{2}{3}. La défaite est l'événement contraire de la victoire, donc P(D)=1−23=13P(D) = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}.
  2. « Exactement une victoire » correspond à deux chemins différents de l'arbre : gagner puis perdre (VDVD), ou perdre puis gagner (DVDV).
  3. Calcule chaque chemin en multipliant les probabilités rencontrées, puis additionne les deux chemins : P(VD)+P(DV)P(VD) + P(DV).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Décrire les branches

    Pour une partie, le joueur gagne avec P(V)=23P(V) = \dfrac{2}{3}. La défaite est l'événement contraire de la victoire, donc P(D)=1−23=13P(D) = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}. Sur une même étape, la somme des branches vaut bien 23+13=1\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1.

  2. 2. Construire l'arbre

    À la première partie, deux branches partent du départ : VV (probabilité 23\dfrac{2}{3}) et DD (probabilité 13\dfrac{1}{3}). Depuis chacune de ces branches, la seconde partie ouvre à nouveau les branches VV (23\dfrac{2}{3}) et DD (13\dfrac{1}{3}), car les parties sont indépendantes. On obtient 44 chemins : VVVV, VDVD, DVDV et DDDD.

  3. 3. Repérer les chemins favorables

    « Gagner exactement une des deux parties » signifie une victoire et une défaite, dans n'importe quel ordre. Cela correspond à deux chemins de l'arbre : VDVD (gagner puis perdre) et DVDV (perdre puis gagner). Le chemin VVVV (deux victoires) et le chemin DDDD (deux défaites) sont donc exclus.

  4. 4. Calculer chaque chemin

    Le long d'un chemin, on multiplie les probabilités. D'après l'arbre : P(VD)=23×13=29P(VD) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9} et P(DV)=13×23=29P(DV) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}.

  5. 5. Additionner les deux chemins et conclure

    Les deux chemins VDVD et DVDV mènent au même événement « exactement une victoire » : on additionne donc leurs probabilités. P(exactement une victoire)=29+29=49P(\text{exactement une victoire}) = \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{4}{9}. Vérification : avec P(VV)=23×23=49P(VV) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9} et P(DD)=13×13=19P(DD) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}, la somme des quatre chemins fait 49+29+29+19=99=1\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{9}{9} = 1, ce qui confirme l'arbre. La probabilité que le joueur gagne exactement une des deux parties est égale à 49\dfrac{4}{9}.
Réponse finale
P(exactement une victoire)=23×13+13×23=29+29=49P(\text{exactement une victoire}) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{4}{9}
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