Quatrième · Chapitre 9

Probabilités

Cours de Quatrième sur les probabilités : probabilité d'un événement, issues équiprobables, arbre pondéré et expériences à deux épreuves. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de quatrième · Mis à jour en juin 2026

Quelle chance as-tu de sortir une carte rare en ouvrant un pack, ou de tomber sur ta sneaker préférée dans une boîte mystère ? Les probabilités permettent de mesurer le hasard avec un nombre compris entre $0$ et $1$ . Dans ce chapitre, tu apprends à calculer la probabilité d’un événement, puis à enchaîner deux épreuves (deux lancers, deux packs) à l’aide d’un arbre.

Mes objectifs

À la fin de ce chapitre, je sais :

reconnaître les issues d’une expérience aléatoire et dire si elles sont équiprobables ;
calculer la probabilité d’un événement avec la formule « favorables sur total » ;
utiliser l’événement contraire $\overline{A}$ pour un calcul du type « au moins un » ;
construire un arbre de probabilité pour une expérience à deux épreuves et calculer la probabilité d’un chemin.

À quoi ça sert ?

Dès que tu ouvres un pack sur EA FC, que tu lances une boîte mystère de sneakers ou que tu participes à un tirage au sort en story, tu fais face au hasard. Les probabilités te donnent un outil pour répondre à « j’ai quelle chance ? » avec un vrai nombre, au lieu de dire « au pif ». Tu peux ainsi comparer deux situations et savoir laquelle est la plus avantageuse : c’est exactement ce que font les studios de jeu quand ils règlent les taux de drop.

Expérience aléatoire, issues et événement

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l’avance (lancer une pièce, lancer un dé, tirer une bille…).

Chaque résultat possible s’appelle une issue.
Un événement est un ensemble d’issues qui nous intéresse.

Par exemple, en lançant un dé à six faces, les issues sont $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ et $6$ . L’événement « obtenir un nombre pair » regroupe les issues $2$ , $4$ et $6$ : on dit que ce sont les issues favorables à cet événement.

Probabilité d'un événement

La probabilité d’un événement est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure la chance qu’il se produise.

Une probabilité de $0$ signifie que l’événement est impossible.
Une probabilité de $1$ signifie que l’événement est certain.
Plus la probabilité est proche de $1$ , plus l’événement a de chances de se produire.

On peut écrire une probabilité sous forme de fraction, mais aussi en écriture décimale ou en pourcentage : par exemple $\frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%$ .

Issues équiprobables

Des issues sont dites équiprobables lorsqu’elles ont toutes la même probabilité de se produire.

C’est le cas pour une pièce équilibrée (pile et face ont la même chance), un dé bien équilibré (chaque face a la même chance) ou un tirage au hasard dans un sac (chaque objet a la même chance d’être tiré).

Calculer une probabilité (cas équiprobable)

Lorsque les issues sont équiprobables, la probabilité d’un événement $A$ est : $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$

Par exemple, pour un dé à six faces, la probabilité d’obtenir un nombre pair est : $P(\text{pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ car il y a $3$ issues favorables ( $2$ , $4$ , $6$ ) parmi les $6$ issues possibles.

Calculer la probabilité d'un événement

Lister toutes les issues possibles et vérifier qu’elles sont équiprobables.
Compter le nombre total d’issues.
Compter le nombre d’issues favorables à l’événement cherché.
Écrire la fraction $\frac{\text{favorables}}{\text{total}}$ , puis la simplifier si possible.

Exemple : un sac contient $4$ billes ( $1$ bleue et $3$ jaunes). On tire une bille au hasard. Il y a $4$ issues équiprobables, dont $1$ favorable à « tirer la bille bleue », donc $P(\text{bleue}) = \frac{1}{4}$ .

Événement contraire

L’événement contraire d’un événement $A$ , noté $\overline{A}$ , est l’événement qui se réalise exactement quand $A$ ne se réalise pas.

Par exemple, si $A$ est « obtenir un $6$ » au lancer d’un dé, alors $\overline{A}$ est « ne pas obtenir $6$ », c’est-à-dire obtenir $1$ , $2$ , $3$ , $4$ ou $5$ .

Probabilité de l'événement contraire

Un événement et son contraire se partagent toute la certitude : la somme de leurs probabilités vaut toujours $1$ . $P(A) + P(\overline{A}) = 1 \qquad \text{donc} \qquad P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

Cette formule est très utile pour les événements du type « au moins un » : il est souvent plus simple de calculer la probabilité de « aucun », puis de la retrancher à $1$ .

Arbre de probabilité (deux épreuves)

Quand une expérience se déroule en deux étapes (deux lancers, deux tirages, deux packs…), on la représente par un arbre pondéré : chaque branche porte la probabilité de l’issue correspondante.

Sur une même étape, la somme des probabilités des branches vaut $1$ .
Le long d’un chemin, on multiplie les probabilités rencontrées pour obtenir la probabilité de ce chemin.
Pour un événement qui correspond à plusieurs chemins, on additionne les probabilités de ces chemins.

Un arbre pour deux lancers de pièce

On lance deux fois une pièce équilibrée. À chaque lancer, $P(\text{Pile}) = \frac{1}{2}$ et $P(\text{Face}) = \frac{1}{2}$ .

L’arbre donne $4$ chemins équiprobables : $PP$ , $PF$ , $FP$ et $FF$ . La probabilité d’obtenir deux fois Face suit un seul chemin : $P(FF) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

La probabilité d’obtenir exactement une fois Pile correspond à deux chemins ( $PF$ et $FP$ ) : $P(\text{une seule fois Pile}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Le réflexe « au moins un »

Pour une question du style « au moins une carte rare sur deux packs », ne compte pas tous les cas un par un : passe par le contraire.

« Au moins une rare » est le contraire de « aucune rare ». On calcule donc d’abord $P(\text{aucune})$ en multipliant le long de l’unique chemin « pas rare puis pas rare », puis : $P(\text{au moins une}) = 1 - P(\text{aucune}).$

Les pièges à éviter

Probabilité supérieure à 1 : une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ . Si tu trouves $\frac{7}{4}$ , c’est faux : tu as sûrement additionné des probabilités qu’il fallait multiplier.
Additionner au lieu de multiplier : sur un arbre, le long d’un chemin on multiplie. FAUX : $P(FF) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ . VRAI : $P(FF) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ . On n’additionne que des chemins différents menant au même événement.
Oublier de vérifier l’équiprobabilité : la formule $\frac{\text{favorables}}{\text{total}}$ ne marche que si les issues ont la même chance. Un dé pipé ne respecte pas cette règle.
« Au moins un » confondu avec « exactement un » : « au moins une rare » inclut le cas « deux rares ». Le plus sûr reste de passer par le contraire « aucune rare ».

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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La probabilité d'obtenir pile

On lance une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir pile ? Donner le résultat sous forme de fraction.

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Un nombre pair au dé

On lance un dé à six faces bien équilibré, numéroté de $1$ à $6$ . Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

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Un titre rap dans la playlist

Sur ton application de streaming, une playlist contient $20$ titres : $8$ sont des titres de rap et les autres sont d'autres styles. L'application choisit un titre au hasard pour lancer la lecture aléatoire, et chaque titre a la même chance d'être choisi. Quelle est la probabilité que le titre choisi soit un titre de rap ? Donner le résultat sous forme de fraction simplifiée.

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L'arbre des deux lancers

On lance une pièce équilibrée deux fois de suite. On note $P$ pour pile et $F$ pour face. 1) Construire l'arbre de probabilité de cette expérience à deux épreuves. 2) En déduire la probabilité d'obtenir deux fois face.

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La roue du giveaway

Pour un giveaway en story, un créateur fait tourner une roue partagée en $20$ secteurs identiques numérotés de $1$ à $20$ . La roue est équilibrée : chaque secteur a la même chance de sortir. Un cadeau est gagné lorsque le numéro obtenu est un multiple de $3$ . 1) Quelle est la probabilité que le numéro obtenu soit un multiple de $3$ ? 2) En déduire la probabilité de ne pas gagner de cadeau.

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Le sac de billes

Un sac contient $12$ billes identiques au toucher : $7$ sont vertes et $5$ sont rouges. On tire une bille au hasard. 1) Quelle est la probabilité de tirer une bille rouge ? 2) En déduire la probabilité de tirer une bille verte.

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Bonus

Au moins une carte rare dans deux packs

Sur EA FC, tu ouvres deux packs l'un après l'autre. Chaque pack a $1$ chance sur $4$ de contenir une carte rare, indépendamment de l'autre. 1) Construire l'arbre de probabilité des deux ouvertures (rare $R$ ou pas rare $\overline{R}$ ). 2) En déduire la probabilité d'obtenir au moins une carte rare sur les deux packs.

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Exactement une victoire en ranked

Un joueur enchaîne deux parties classées (« ranked ») à la suite. D'après ses statistiques, il gagne chaque partie avec une probabilité de $\dfrac{2}{3}$ , et le résultat d'une partie n'influence pas l'autre. On note $V$ une victoire et $D$ une défaite. 1) Construire l'arbre de probabilité de ces deux parties. 2) En déduire la probabilité que le joueur gagne exactement une des deux parties.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Comment calcule-t-on la probabilité d'un événement ?

Quand toutes les issues d'une expérience ont la même chance de se produire (on dit qu'elles sont équiprobables), la probabilité d'un événement est égale au nombre d'issues favorables divisé par le nombre total d'issues. Par exemple, en lançant un dé à six faces, la probabilité d'obtenir un nombre pair vaut trois sixièmes, car il y a trois issues favorables (2, 4 et 6) sur six issues possibles.

À quoi sert un arbre de probabilité ?

Un arbre de probabilité sert à représenter une expérience qui se déroule en plusieurs étapes, par exemple lancer deux fois une pièce. Chaque branche correspond à une issue possible et porte sa probabilité. Pour obtenir la probabilité d'un chemin complet, on multiplie les probabilités rencontrées le long de ce chemin.

Que vaut la probabilité de l'événement contraire ?

L'événement contraire d'un événement A est l'événement qui se réalise exactement quand A ne se réalise pas. La somme de leurs probabilités est toujours égale à un. Donc la probabilité de l'événement contraire de A est égale à un moins la probabilité de A. C'est très pratique pour calculer une probabilité du type au moins un.