L'arbre des deux lancers

À chaque lancer, la pièce est équilibrée : $P(P) = \frac{1}{2}$ et $P(F) = \frac{1}{2}$. Sur une même étape, la somme des probabilités des branches vaut bien $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Au premier lancer, deux branches partent du départ : $P$ (probabilité $\frac{1}{2}$) et $F$ (probabilité $\frac{1}{2}$). Depuis chacune de ces branches, le second lancer ouvre à nouveau deux branches $P$ et $F$, chacune de probabilité $\frac{1}{2}$. On obtient ainsi $4$ chemins possibles : $PP$, $PF$, $FP$ et $FF$.

Obtenir « deux fois face » correspond au seul chemin $FF$. Le long d'un chemin, on multiplie les probabilités : $P(FF) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Les $4$ chemins sont équiprobables et valent chacun $\frac{1}{4}$ ; leur somme fait $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1$, ce qui confirme l'arbre. La probabilité d'obtenir deux fois face est égale à $\frac{1}{4}$.