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Rêves Vision
Quatrième

La longueur de câble pour relier un setup gaming

Énoncé

Tu installes ton setup gaming : la console est dans un coin de ta chambre et l'écran dans le coin opposé, en diagonale. La pièce est un rectangle de 44 m de longueur sur 2,52{,}5 m de largeur, et tu veux faire passer le câble bien le long des murs... ou directement en diagonale. Calcule la longueur de la diagonale de la pièce, arrondie au centimètre. Un câble de 55 m suffira-t-il pour la diagonale ?
A B C 4 m 2,5 m ?
Diagonale [AC] de la pièce : triangle ABC rectangle en B
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Trace la diagonale qui relie les deux coins opposés du sol : elle découpe le rectangle en deux triangles rectangles.
  2. Dans ce triangle rectangle, la diagonale est l'hypoténuse, et les deux côtés de l'angle droit mesurent 44 m et 2,52{,}5 m.
  3. Écris AC2=42+2,52AC^2 = 4^2 + 2{,}5^2, additionne, prends la racine carrée ; comme le résultat n'est pas rond, donne une valeur arrondie au centième de mètre avec le signe ≈\approx.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Modéliser par un triangle rectangle

    On note ABCDABCD le rectangle du sol de la pièce, avec une longueur AB=4AB = 4 m et une largeur BC=2,5BC = 2{,}5 m. La diagonale [AC][AC] relie deux coins opposés et partage le rectangle en deux triangles rectangles. Le triangle ABCABC est rectangle en BB (les angles d'un rectangle sont droits), et la diagonale [AC][AC] en est l'hypoténuse.

  2. 2. Écrire l'égalité de Pythagore

    Dans le triangle ABCABC rectangle en BB, l'hypoténuse est la diagonale [AC][AC]. D'après le théorème de Pythagore : AC2=AB2+BC2.AC^2 = AB^2 + BC^2.

  3. 3. Remplacer et additionner

    On remplace par les valeurs : AC2=42+2,52=16+6,25=22,25.AC^2 = 4^2 + 2{,}5^2 = 16 + 6{,}25 = 22{,}25.

  4. 4. Prendre la racine carrée

    22,2522{,}25 n'est pas un carré « rond », on obtient donc une valeur approchée : AC=22,25≈4,717AC = \sqrt{22{,}25} \approx 4{,}717 m. Arrondie au centimètre, c'est-à-dire au centième de mètre : AC≈4,72AC \approx 4{,}72 m. On garde bien le signe ≈\approx (« environ »).

  5. 5. Répondre à la question posée

    La diagonale mesure environ 4,724{,}72 m. Comme 4,72 m<5 m4{,}72 \ \text{m} < 5 \ \text{m}, un câble de 55 m est assez long pour relier les deux coins en diagonale. La diagonale mesure environ 4,724{,}72 m, donc un câble de 55 m suffit.
Réponse finale
AC=42+2,52=22,25≈4,72 m<5 mAC = \sqrt{4^2 + 2{,}5^2} = \sqrt{22{,}25} \approx 4{,}72 \ \text{m} < 5 \ \text{m}
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