Quatrième · Chapitre 6

Théorème de Pythagore

Cours de Quatrième sur le théorème de Pythagore : calculer une longueur dans un triangle rectangle et utiliser la réciproque pour prouver qu'un triangle est rectangle. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de quatrième · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Carrés et cubes

Comment connaître la longueur de la diagonale de ton écran de smartphone, la taille d’une planche de rampe de skate ou vérifier qu’un coin est bien droit ? Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d’un triangle rectangle : si tu connais deux longueurs, tu peux calculer la troisième. Et sa réciproque permet de faire l’inverse : prouver qu’un triangle possède bien un angle droit. C’est l’un des outils les plus puissants de la géométrie.

Ce que tu sais faire à la fin du chapitre

Je sais reconnaître l’hypoténuse d’un triangle rectangle.
Je sais énoncer le théorème de Pythagore.
Je sais calculer une longueur (l’hypoténuse ou un côté de l’angle droit) dans un triangle rectangle.
Je sais utiliser la réciproque pour démontrer qu’un triangle est rectangle… ou prouver qu’il ne l’est pas.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Dès qu’il y a un angle droit, Pythagore n’est jamais loin. Quand tu regardes la taille d’un écran (un « 6,1 pouces », c’est la diagonale), quand un skateur calcule la longueur de planche pour sa rampe, ou quand un menuisier vérifie qu’une étagère est posée bien d’équerre : tout ça, c’est Pythagore. Avec seulement deux mesures, tu en déduis une troisième sans sortir le mètre.

L'hypoténuse d'un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, le côté le plus long est l’hypoténuse : c’est le côté opposé à l’angle droit. Les deux autres côtés, ceux qui forment l’angle droit, sont appelés les côtés de l’angle droit.

Par exemple, si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors l’hypoténuse est $[BC]$ (le côté qui ne touche pas le sommet $A$ ).

Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors : $BC^2 = AB^2 + AC^2$

Calculer la longueur de l'hypoténuse

On connaît les deux côtés de l’angle droit et on cherche l’hypoténuse.

Repérer l’hypoténuse : c’est le côté opposé à l’angle droit.
Écrire l’égalité de Pythagore, par exemple $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .
Remplacer par les valeurs et additionner les carrés.
Prendre la racine carrée pour obtenir la longueur cherchée.

Exemple : si $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm, alors $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ , donc $BC = \sqrt{25} = 5$ cm.

Calculer un côté de l'angle droit

On connaît l’hypoténuse et un côté de l’angle droit ; on cherche l’autre côté de l’angle droit. Cette fois, on soustrait les carrés.

Écrire l’égalité de Pythagore avec l’hypoténuse au carré toute seule : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .
Isoler le côté cherché : $AB^2 = BC^2 - AC^2$ .
Remplacer, puis calculer la différence des carrés.
Prendre la racine carrée du résultat.

Exemple : si $BC = 13$ cm et $AC = 12$ cm, alors $AB^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$ , donc $AB = \sqrt{25} = 5$ cm.

La racine carrée, en deux mots

Calculer un côté revient à « défaire » un carré : c’est le rôle de la racine carrée, notée $\sqrt{\phantom{x}}$ . Par exemple $5^2 = 25$ , donc $\sqrt{25} = 5$ . À la calculatrice, c’est la touche $\sqrt{\phantom{x}}$ . Quand le résultat n’est pas « rond » (comme $\sqrt{6{,}76}$ ), on en donne une valeur arrondie, en précisant bien le signe $\approx$ (« environ »).

Réciproque du théorème de Pythagore

Soit un triangle $ABC$ dont $[BC]$ est le plus grand côté. Si $BC^2 = AB^2 + AC^2,$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ (l’angle droit se trouve au sommet opposé au plus grand côté).

C’est cette réciproque que l’on utilise pour démontrer qu’un triangle est rectangle.

Prouver qu'un triangle est (ou n'est pas) rectangle

Repérer le plus grand côté : c’est lui qui serait l’hypoténuse.
Calculer séparément deux quantités :
- $d_1 = (\text{plus grand côté})^2$ ;
- $d_2 = (\text{somme des carrés des deux autres côtés})$ .
Comparer :
- si $d_1 = d_2$ , alors d’après la réciproque de Pythagore le triangle est rectangle ;
- si $d_1 \neq d_2$ , alors le triangle n’est pas rectangle.

Quelques triplets pythagoriciens utiles

Trois nombres entiers $(a, b, c)$ qui vérifient $a^2 + b^2 = c^2$ forment un triplet pythagoricien : ils donnent des longueurs « rondes ». Les plus utiles à reconnaître :

$3 - 4 - 5$ (et ses multiples : $6 - 8 - 10$ , $9 - 12 - 15$ …) ;
$5 - 12 - 13$ ;
$8 - 15 - 17$ .

Les repérer permet souvent de vérifier un calcul d’un coup d’œil.

Exemple guidé : la diagonale d'une dalle de skatepark

Une dalle de skatepark est un rectangle de $4$ m sur $3$ m. Quelle est la longueur de sa diagonale ?

La diagonale partage le rectangle en deux triangles rectangles. On a un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent $4$ m et $3$ m, et la diagonale $d$ en est l’hypoténuse.

D’après le théorème de Pythagore : $d^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ , donc $d = \sqrt{25} = 5$ m.

La diagonale de la dalle mesure $5$ m.

Les pièges à éviter

FAUX : « $BC^2 = 25$ donc $BC = 25$ . » On oublie la racine carrée. VRAI : $BC = \sqrt{25} = 5$ .
FAUX : additionner pour trouver un côté de l’angle droit. VRAI : pour un côté de l’angle droit on soustrait les carrés ( $AB^2 = BC^2 - AC^2$ ) ; on n’additionne que pour l’hypoténuse.
FAUX : prendre n’importe quel côté comme hypoténuse. VRAI : l’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit, donc le plus long ; au carré, il doit être seul d’un côté de l’égalité.
FAUX : pour la réciproque, écrire directement $BC^2 = AB^2 + AC^2$ . Cela revient à supposer ce qu’on veut prouver. VRAI : on calcule les deux membres séparément, puis on les compare.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer l'hypoténuse avec les côtés 3 et 4

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . Les côtés de l'angle droit mesurent $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm. Calculer la longueur de l'hypoténuse $BC$ .

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Énoncer le théorème de Pythagore

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . Énoncer le théorème de Pythagore pour ce triangle, puis écrire l'égalité de Pythagore correspondante.

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Ce support de panneau est-il vraiment d'équerre ?

Dans un atelier de menuiserie, un renfort triangulaire en métal doit posséder un angle droit pour soutenir une étagère bien horizontale. On mesure ses trois côtés : $AB = 9$ cm, $AC = 12$ cm et $BC = 16$ cm. Le menuisier affirme que l'angle en $A$ est droit. A-t-il raison ? Justifier la réponse.

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Ce triangle de côtés 6, 8 et 10 est-il rectangle ?

Un triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm et $BC = 10$ cm. Ce triangle est-il rectangle ? Justifier la réponse.

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La diagonale de l'écran d'un smartphone

Quand tu regardes une vidéo TikTok en plein écran, la « taille » de ton téléphone correspond en réalité à la diagonale de l'écran. Un écran de smartphone est un rectangle de $12$ cm de longueur sur $5$ cm de largeur. Calculer la longueur de sa diagonale.

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La hauteur atteinte par une échelle d'atelier

Dans un atelier, un technicien appuie une échelle de $6{,}5$ m de long contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est posé sur le sol horizontal, à $2{,}5$ m du mur. À quelle hauteur le haut de l'échelle touche-t-il le mur ?

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La longueur de câble pour relier un setup gaming

Tu installes ton setup gaming : la console est dans un coin de ta chambre et l'écran dans le coin opposé, en diagonale. La pièce est un rectangle de $4$ m de longueur sur $2{,}5$ m de largeur, et tu veux faire passer le câble bien le long des murs... ou directement en diagonale. Calcule la longueur de la diagonale de la pièce, arrondie au centimètre. Un câble de $5$ m suffira-t-il pour la diagonale ?

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Bonus

La planche d'une rampe de skate

Tu construis une rampe de skate. Vue de côté, elle forme un triangle rectangle : la base posée au sol mesure $2{,}4$ m, et le poteau vertical à l'arrière monte à $1$ m de haut. La planche inclinée relie le sol au sommet du poteau. Quelle longueur de planche faut-il, arrondie au centimètre ?

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Que dit le théorème de Pythagore ?

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si le triangle ABC est rectangle en A, alors BC au carré est égal à AB au carré plus AC au carré, où BC est l'hypoténuse, c'est-à-dire le côté opposé à l'angle droit.

Comment calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?

On repère d'abord l'hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit. On écrit l'égalité de Pythagore, on remplace les deux côtés de l'angle droit par leurs valeurs, on additionne les carrés, puis on prend la racine carrée du résultat pour obtenir la longueur cherchée.

À quoi sert la réciproque du théorème de Pythagore ?

La réciproque sert à démontrer qu'un triangle est rectangle. On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres côtés. S'ils sont égaux, le triangle est rectangle. Sinon, le triangle n'est pas rectangle.

Exercices corrigés

Calculer l'hypoténuse avec les côtés 3 et 4

Énoncer le théorème de Pythagore

Ce support de panneau est-il vraiment d'équerre ?

Ce triangle de côtés 6, 8 et 10 est-il rectangle ?

La diagonale de l'écran d'un smartphone

La hauteur atteinte par une échelle d'atelier

La longueur de câble pour relier un setup gaming

La planche d'une rampe de skate

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Questions fréquentes

Ce triangle de côtés 6, 8 et 10 est-il rectangle ?