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Rêves Vision
Quatrième

Ce support de panneau est-il vraiment d'équerre ?

Énoncé

Dans un atelier de menuiserie, un renfort triangulaire en métal doit posséder un angle droit pour soutenir une étagère bien horizontale. On mesure ses trois côtés : AB=9AB = 9 cm, AC=12AC = 12 cm et BC=16BC = 16 cm. Le menuisier affirme que l'angle en AA est droit. A-t-il raison ? Justifier la réponse.
A B C 9 cm 16 cm 12 cm
Renfort triangulaire ABC : l'angle en A est-il droit ?

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Repérer le plus grand côté

    Si le triangle était rectangle, son hypoténuse serait son plus grand côté. Or le plus grand côté est [BC][BC] car 16>12>916 > 12 > 9. C'est donc lui qu'il faut tester comme hypoténuse possible.

  2. 2. Calculer les deux membres séparément

    On calcule séparément le carré du plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres côtés. D'un côté : BC2=162=256.BC^2 = 16^2 = 256. De l'autre : AB2+AC2=92+122=81+144=225.AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225.

  3. 3. Comparer

    On compare les deux résultats : BC2=256BC^2 = 256 et AB2+AC2=225AB^2 + AC^2 = 225. Comme 256≠225256 \neq 225, on a BC2≠AB2+AC2BC^2 \neq AB^2 + AC^2 : les deux membres ne sont pas égaux.

  4. 4. Conclure avec la réciproque

    L'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, donc d'après la réciproque (contraposée) du théorème de Pythagore, le triangle ABCABC n'est pas rectangle. En particulier, l'angle en AA n'est pas droit : le menuisier a tort. Le triangle n'est pas rectangle, le renfort n'est pas d'équerre.
Réponse finale
BC2=256  et  AB2+AC2=225, donc BC2≠AB2+AC2:le triangle n’est pas rectangleBC^2 = 256 \ \text{ et } \ AB^2 + AC^2 = 225, \ \text{donc } BC^2 \neq AB^2 + AC^2 : \text{le triangle n'est pas rectangle}
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