La hauteur atteinte par une échelle d'atelier

Le sol est horizontal et le mur est vertical : ils forment un angle droit. On note $A$ le pied du mur, $B$ le pied de l'échelle (sur le sol) et $C$ le point où l'échelle touche le mur. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 2{,}5$ m au sol et l'échelle $BC = 6{,}5$ m. La hauteur cherchée est $AC$.

L'échelle $[BC]$ est le côté opposé à l'angle droit : c'est l'hypoténuse, et on la connaît déjà. On cherche un côté de l'angle droit, $AC$. On va donc soustraire les carrés (et non les additionner).

D'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle $ABC$ rectangle en $A$, l'hypoténuse au carré est seule d'un côté : $BC^2 = AB^2 + AC^2.$ On isole le côté cherché : $AC^2 = BC^2 - AB^2.$

On remplace par les valeurs : $AC^2 = 6{,}5^2 - 2{,}5^2 = 42{,}25 - 6{,}25 = 36.$

On « défait » le carré avec la racine carrée : $AC = \sqrt{36} = 6$ m. Cette hauteur ($6$ m) est bien inférieure à la longueur de l'échelle ($6{,}5$ m) : c'est cohérent, car un côté de l'angle droit est toujours plus court que l'hypoténuse. Le haut de l'échelle touche le mur à $6$ m de hauteur.