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Rêves Vision
Seconde pro

La fréquence des livraisons à l'heure se stabilise

Énoncé

Un service de livraison veut estimer la probabilité qu'une commande parte à l'heure. À l'aide d'un tableur, on simule des échantillons de tailles croissantes et on relève le nombre de livraisons à l'heure :

| Taille nn de l'échantillon | Nombre de livraisons à l'heure |
|---|---|
| 1010 | 88 |
| 5050 | 4444 |
| 100100 | 9191 |
| 500500 | 459459 |
| 10001000 | 921921 |

1. Calculer la fréquence des livraisons à l'heure pour chaque taille nn.
2. Que remarque-t-on quand nn augmente ?
3. Vers quelle valeur peut-on estimer la probabilité qu'une livraison parte à l'heure ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour chaque ligne du tableau, divise le nombre de livraisons à l'heure par la taille nn de l'échantillon.
  2. Écris les cinq fréquences les unes en dessous des autres, dans l'ordre des nn croissants, et compare-les : se rapprochent-elles d'une même valeur ?
  3. La loi des grands nombres dit que la fréquence se stabilise autour de la probabilité : regarde vers quel nombre tendent 0,9180{,}918 et 0,9210{,}921.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Rappeler la formule de la fréquence

    Pour chaque ligne, la fréquence des livraisons à l'heure est f=nombre de livraisons aˋ l’heurenf = \frac{\text{nombre de livraisons à l'heure}}{n}. On calcule donc une fréquence par taille d'échantillon.

  2. 2. Calculer chaque fréquence

    Pour n=10n = 10 : f=810=0,80f = \frac{8}{10} = 0{,}80.

    Pour n=50n = 50 : f=4450=0,88f = \frac{44}{50} = 0{,}88.

    Pour n=100n = 100 : f=91100=0,91f = \frac{91}{100} = 0{,}91.

    Pour n=500n = 500 : f=459500=0,918f = \frac{459}{500} = 0{,}918.

    Pour n=1000n = 1000 : f=9211000=0,921f = \frac{921}{1000} = 0{,}921.

  3. 3. Observer l'évolution

    On range les fréquences dans l'ordre des nn croissants : 0,800{,}80 ; 0,880{,}88 ; 0,910{,}91 ; 0,9180{,}918 ; 0,9210{,}921. On constate que, lorsque nn augmente, les fréquences se rapprochent les unes des autres et fluctuent de moins en moins : elles se stabilisent autour de 0,920{,}92. C'est exactement ce que prévoit la loi des grands nombres.

  4. 4. Estimer la probabilité

    Comme la fréquence se stabilise autour de 0,920{,}92 pour les grands échantillons, on estime la probabilité qu'une livraison parte à l'heure à environ 0,920{,}92, soit 92 %92\ \%. Quand nn grandit, la fréquence se stabilise vers 0,920{,}92 : on estime donc P(aˋ l’heure)≈0,92P(\text{à l'heure}) \approx 0{,}92.
Réponse finale
f10=0,80 ; f50=0,88 ; f100=0,91 ; f500=0,918 ; f1000=0,921⇒P(aˋ l’heure)≈0,92f_{10} = 0{,}80 \ ;\ f_{50} = 0{,}88 \ ;\ f_{100} = 0{,}91 \ ;\ f_{500} = 0{,}918 \ ;\ f_{1000} = 0{,}921 \quad \Rightarrow \quad P(\text{à l'heure}) \approx 0{,}92
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