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Modes de paiement et esprit critique sur un slogan

Énoncé

Une boutique enregistre, sur une journée, le mode de paiement de ses 200200 clients, en distinguant les clients habitués et occasionnels. Voici le tableau à double entrée des effectifs :
CarteEspècesPaiement mobileTotal
Habitués606015154545120120
Occasionnels4040303010108080
Total10010045455555200200

1. On choisit un client au hasard. Calculer la probabilité qu'il paie par paiement mobile.
2. On choisit un client au hasard parmi les habitués. Calculer la probabilité qu'il paie par carte.
3. La boutique affiche le slogan : « 88 clients sur 1010 paient sans contact ! » (sans contact = carte + paiement mobile). En calculant la vraie fréquence, dire si ce slogan est honnête.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour une probabilité sur TOUS les clients, le dénominateur est le total général (200200) ; pour une probabilité « parmi les habitués », le dénominateur devient le total de la ligne Habitués (120120).
  2. « Sans contact » regroupe deux colonnes : additionne les totaux des colonnes Carte et Paiement mobile avant de diviser par 200200.
  3. Compare la fréquence que tu obtiens à 810=0,80\frac{8}{10} = 0{,}80 : si elle est plus petite, le slogan annonce mieux que la réalité.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Question 1 - repérer la bonne case et le bon total

    On veut la probabilité, sur tous les clients, de payer par paiement mobile. On lit la colonne « Paiement mobile » : le total de cette colonne est 5555 (c'est 4545 habitués + 10+\ 10 occasionnels). On divise par le total général 200200 : P(mobile)=55200P(\text{mobile}) = \frac{55}{200}.

  2. 2. Question 1 - calculer

    On effectue : 55200=0,275\frac{55}{200} = 0{,}275. En pourcentage, 0,275×100=27,50{,}275 \times 100 = 27{,}5, soit 27,5 %27{,}5\ \%. La probabilité qu'un client pris au hasard paie par paiement mobile est donc 0,2750{,}275.

  3. 3. Question 2 - se placer parmi les habitués

    Ici, on ne regarde plus tous les clients, mais uniquement les habitués. Le « tout » devient le total de la ligne Habitués, soit 120120. Parmi eux, ceux qui paient par carte sont 6060. On divise donc par 120120 et non par 200200 : P(carte parmi les habitueˊs)=60120P(\text{carte parmi les habitués}) = \frac{60}{120}.

  4. 4. Question 2 - calculer

    On simplifie : 60120=0,5\frac{60}{120} = 0{,}5, soit 50 %50\ \%. Attention à bien diviser par le total de la ligne (120120) : diviser par 200200 serait une erreur, car on ne s'intéresse qu'aux habitués.

  5. 5. Question 3 - calculer la vraie fréquence du sans contact

    « Sans contact » signifie carte ou paiement mobile. Le total des paiements par carte est 100100 et celui par paiement mobile est 5555. Le nombre de clients payant sans contact est donc 100+55=155100 + 55 = 155. La fréquence vaut f=155200=0,775f = \frac{155}{200} = 0{,}775, soit 77,5 %77{,}5\ \%.

  6. 6. Question 3 - exercer son esprit critique

    Le slogan annonce « 88 clients sur 1010 », c'est-à-dire 810=0,80\frac{8}{10} = 0{,}80, soit 80 %80\ \%. Or la vraie fréquence est 0,7750{,}775, soit 77,5 %77{,}5\ \%. La boutique a arrondi à la hausse : 77,5 %77{,}5\ \% n'est pas 80 %80\ \%. Le slogan exagère la réalité, il n'est donc pas tout à fait honnête. Réponses : P(mobile)=0,275P(\text{mobile}) = 0{,}275 ; P(carte parmi les habitueˊs)=0,5P(\text{carte parmi les habitués}) = 0{,}5 ; le slogan est trompeur car la vraie part du sans contact est 77,5 %77{,}5\ \%, pas 80 %80\ \%.
Réponse finale
P(mobile)=55200=0,275;P(carte∣habitueˊ)=60120=0,5;fsans contact=155200=0,775=77,5 %≠80 %P(\text{mobile}) = \frac{55}{200} = 0{,}275 \quad ;\quad P(\text{carte} \mid \text{habitué}) = \frac{60}{120} = 0{,}5 \quad ;\quad f_{\text{sans contact}} = \frac{155}{200} = 0{,}775 = 77{,}5\ \% \ne 80\ \%
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