Seconde pro Approfondissement gratuit
L'aire maximale d'un parking rectangulaire
Énoncé
Un commerce veut clôturer un parking rectangulaire avec m de barrière (le périmètre total est donc de m). On note la longueur d'un côté, en mètres.
1. Justifier que l'autre côté mesure , puis montrer que l'aire du parking est .
2. Compléter un tableau de valeurs de pour , puis tracer la courbe de .
3. Déterminer graphiquement la valeur de qui rend l'aire maximale, et donner cette aire maximale.
1. Justifier que l'autre côté mesure , puis montrer que l'aire du parking est .
2. Compléter un tableau de valeurs de pour , puis tracer la courbe de .
3. Déterminer graphiquement la valeur de qui rend l'aire maximale, et donner cette aire maximale.
Besoin d'un coup de pouce ?
- Le périmètre d'un rectangle vaut . Ici il vaut , donc longueur + largeur : si un côté mesure , l'autre mesure .
- L'aire d'un rectangle est le produit de ses deux côtés : . Calcule par exemple pour t'entraîner.
- La courbe de est une parabole tournée vers le bas (une colline). L'aire maximale se lit au sommet, c'est-à-dire au point le plus haut de la courbe : repère son abscisse et sa hauteur.
Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.
Voir le corrigé détaillé
-
1. Exprimer le second côté
Le périmètre d'un rectangle est m. On en déduit que longueur + largeur m. Si un côté mesure , alors l'autre mesure (la somme des deux côtés vaut bien ). -
2. Établir l'expression de l'aire
L'aire d'un rectangle est le produit de ses deux côtés. Avec un côté et l'autre , on obtient , c'est-à-dire , exprimée en mètres carrés. -
3. Dresser le tableau de valeurs
On calcule l'aire pour chaque valeur, par exemple et .(m) (m) -
4. Tracer la courbe
On place les points , , , , , , et on les relie par une courbe régulière. On obtient une parabole tournée vers le bas (une colline) : elle monte, atteint un sommet, puis redescend. On remarque la symétrie : de part et d'autre du milieu. -
5. Lire le maximum au sommet
L'aire maximale correspond au point le plus haut de la courbe, son sommet. On lit son abscisse et sa hauteur . On en déduit que l'aire est maximale lorsque m, c'est-à-dire quand le parking est un carré de côté m (puisque l'autre côté vaut m). L'aire maximale est de m, obtenue pour un parking carré de m de côté.
Réponse finale
Ta progression