Seconde pro · Chapitre 4

Fonctions affines et carré

Cours de Seconde pro sur les fonctions affines et la fonction carré : coefficient directeur, ordonnée à l'origine, parabole, résoudre un système graphiquement. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Seconde professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Comment savoir à partir de combien de kilomètres une formule de location de voiture devient plus chère qu’une autre ? Comment trouver la taille d’enclos qui donne la plus grande surface avec une quantité de grillage fixée ? Les fonctions affines modélisent tout ce qui se paie par un forfait plus un montant proportionnel (location, abonnement, devis), et la fonction carré apparaît dès qu’on calcule une aire. Ce chapitre relie ces deux outils, en lecture de graphique comme en calcul.

Ce que tu dois savoir faire

À la fin de ce chapitre, je sais :

reconnaître une fonction affine $f(x) = ax + b$ et lire son coefficient directeur $a$ et son ordonnée à l’origine $b$ ;
déterminer l’expression d’une fonction affine connaissant deux points ;
tracer la droite d’une fonction affine et la parabole de la fonction carré ;
résoudre graphiquement un système de deux équations (point d’intersection) ;
résoudre graphiquement une équation $f(x) = c$ et une inéquation $f(x) < c$ .

À quoi ça sert vraiment ?

Dès qu’un prix se décompose en « une partie fixe + une partie qui dépend de la quantité », tu manipules une fonction affine sans le savoir :

un forfait de téléphonie à $4$ € + $0{,}30$ € la minute hors forfait ;
un devis d’artisan : déplacement $40$ € + $0{,}50$ € le kilomètre ;
ton abonnement streaming annuel comparé au paiement au mois.

La fonction carré, elle, sert à optimiser une surface : avec une longueur de clôture, de barrière ou de bordure fixée, quelle forme donne la plus grande aire ? On lit la réponse au sommet de la parabole. C’est exactement le raisonnement d’un commerçant qui veut le plus grand stand possible.

1. La fonction affine

Fonction affine

Une fonction affine est une fonction qui peut s’écrire sous la forme $f(x) = ax + b,$ où $a$ et $b$ sont deux nombres fixés.

$a$ est le coefficient directeur ;
$b$ est l’ordonnée à l’origine.

Cas particulier : si $b = 0$ , la fonction $f(x) = ax$ est linéaire (elle traduit une situation de proportionnalité).

Représentation graphique d'une fonction affine

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction affine $f(x) = ax + b$ est une droite.

L’ordonnée à l’origine $b$ est la valeur de $f(0)$ : c’est la hauteur à laquelle la droite coupe l’axe vertical (l’axe des ordonnées).
Le coefficient directeur $a$ est la pente : quand $x$ augmente de $1$ , la valeur de $f(x)$ augmente de $a$ (et diminue si $a$ est négatif).

Concrètement, pour une location à $f(x) = 0{,}25x + 40$ : la droite part de la hauteur $40$ (le forfait, payé même pour $0$ km) et monte de $0{,}25$ € à chaque kilomètre supplémentaire.

Lire a et b sur une droite ou une expression

À partir de l’expression $f(x) = ax + b$ : le nombre devant le $x$ est $a$ , le nombre tout seul est $b$ .

Exemple : pour $f(x) = 0{,}25x + 40$ , on lit directement $a = 0{,}25$ et $b = 40$ .

À partir du graphique :

Lire $b$ : c’est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe vertical.
Lire $a$ : partir d’un point de la droite, avancer de $1$ vers la droite, puis mesurer de combien la droite monte (ou descend). Ce déplacement vertical est $a$ .

Trouver l'expression d'une fonction affine passant par deux points

On connaît deux points de la droite, par exemple $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ . On cherche $a$ et $b$ .

Calculer le coefficient directeur avec la formule $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}.$
Calculer l’ordonnée à l’origine $b$ en remplaçant dans $f(x) = ax + b$ par les coordonnées d’un des deux points (on connaît alors $a$ , $x$ et $f(x)$ , il ne reste que $b$ ).
Écrire l’expression finale $f(x) = ax + b$ .

Exemple : la droite passe par $A(2\,;7)$ et $B(4\,;13)$ . $a = \frac{13 - 7}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3$ . On remplace dans $f(x) = 3x + b$ avec le point $A$ : $7 = 3 \times 2 + b$ , donc $7 = 6 + b$ , donc $b = 1$ . L’expression est $f(x) = 3x + 1$ .

Le signe de a se voit d'un coup d'œil

Si $a > 0$ , la fonction est croissante : la droite monte de la gauche vers la droite (plus tu roules, plus tu paies).
Si $a < 0$ , la fonction est décroissante : la droite descend.
Si $a = 0$ , la fonction est constante : la droite est horizontale (un prix fixe quoi qu’il arrive).

2. Résoudre un système de deux équations graphiquement

Système de deux équations à deux inconnues

Un système de deux équations réunit deux conditions à satisfaire en même temps. Quand chaque équation décrit une fonction affine, on peut écrire le système sous la forme $\begin{cases} y = a_1 x + b_1 \\ y = a_2 x + b_2 \end{cases}$ Résoudre le système, c’est trouver le couple $(x\,;y)$ qui vérifie les deux lignes à la fois.

Résoudre un système graphiquement

Tracer dans le même repère les deux droites correspondant aux deux équations.
Repérer leur point d’intersection : c’est le seul point qui appartient aux deux droites en même temps.
Lire ses coordonnées $(x\,;y)$ : la valeur de $x$ et la valeur commune $y$ forment la solution du système.

Concrètement, comparer deux forfaits $A$ et $B$ , c’est tracer les deux droites de prix : le point d’intersection donne le nombre de minutes (ou de km, de mois…) pour lequel les deux formules coûtent exactement pareil. Avant ce point, l’une est moins chère ; après, c’est l’autre.

Deux forfaits téléphonie

Forfait $A$ : $f(x) = 0{,}10x + 12$ . Forfait $B$ : $g(x) = 0{,}30x + 4$ (où $x$ est le nombre de minutes hors forfait).

On cherche le point d’égalité. Graphiquement, les deux droites se coupent au point de coordonnées $(40\,;16)$ .

Cela se vérifie : $f(40) = 0{,}10 \times 40 + 12 = 4 + 12 = 16$ € et $g(40) = 0{,}30 \times 40 + 4 = 12 + 4 = 16$ €. Pour $40$ minutes, les deux forfaits coûtent $16$ €. En dessous de $40$ min, le forfait $B$ est moins cher ; au-dessus, c’est le forfait $A$ .

3. La fonction carré

Fonction carré

La fonction carré est la fonction qui, à un nombre $x$ , associe son carré : $f(x) = x^2.$ Sa représentation graphique s’appelle une parabole.

La parabole de la fonction carré

La courbe de $f(x) = x^2$ a la forme d’une cuvette tournée vers le haut :

elle est symétrique par rapport à l’axe vertical (deux nombres opposés ont le même carré : $f(-3) = (-3)^2 = 9$ et $f(3) = 3^2 = 9$ ) ;
son point le plus bas, le sommet, est l’origine $(0\,;0)$ ;
comme un carré est toujours positif ou nul, la courbe ne descend jamais sous l’axe horizontal.

La fonction est décroissante pour $x \le 0$ , puis croissante pour $x \ge 0$ .

Construire la parabole point par point

Dresser un tableau de valeurs en choisissant des $x$ répartis autour de $0$ (par exemple $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ ).
Calculer chaque image avec $f(x) = x^2$ (attention : $(-2)^2 = 4$ , pas $-4$ ).
Placer les points de coordonnées $(x\,;f(x))$ dans le repère.
Relier les points par une courbe régulière (jamais à la règle) : on obtient la parabole.

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x^2$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

4. Résoudre f(x) = c et f(x) < c graphiquement

Résoudre graphiquement une équation f(x) = c

Résoudre $f(x) = c$ , c’est chercher les valeurs de $x$ dont l’image vaut $c$ .

Tracer la droite horizontale d’équation $y = c$ (à la hauteur $c$ sur l’axe vertical).
Repérer les points d’intersection entre cette droite et la courbe de $f$ .
Lire les abscisses (les valeurs de $x$ ) de ces points : ce sont les solutions.

Exemple avec la fonction carré : résoudre $x^2 = 9$ revient à tracer la droite $y = 9$ . Elle coupe la parabole en deux points, d’abscisses $-3$ et $3$ . Les solutions sont $x = -3$ et $x = 3$ .

Résoudre graphiquement une inéquation f(x) < c

Résoudre $f(x) < c$ , c’est chercher les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe est en dessous de la hauteur $c$ .

Tracer la droite horizontale $y = c$ .
Repérer la portion de courbe située sous cette droite (strictement en dessous pour $<$ ).
Lire sur l’axe horizontal l’intervalle des $x$ correspondant à cette portion.

Exemple : pour $f(x) = x^2$ , résoudre $x^2 < 9$ revient à repérer où la parabole est sous la droite $y = 9$ , c’est-à-dire entre les abscisses $-3$ et $3$ . Les solutions sont tous les $x$ tels que $-3 < x < 3$ .

Les pièges à éviter

Confondre coefficient directeur et ordonnée à l’origine. ~~« Dans $f(x) = 0{,}25x + 40$ , le coefficient directeur est $40$ . »~~ FAUX. Le coefficient directeur est le nombre devant le $x$ , donc $a = 0{,}25$ ; $b = 40$ est l’ordonnée à l’origine (le forfait).
Le carré d’un nombre négatif est positif. ~~« $(-4)^2 = -16$ . »~~ FAUX. $(-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16$ : un carré est toujours positif ou nul. C’est pour cela que la parabole reste au-dessus de l’axe.
Inverser numérateur et dénominateur du coefficient directeur. ~~$a = \frac{x_B - x_A}{y_B - y_A}$~~ FAUX. La variation des $y$ est au-dessus, celle des $x$ en dessous : $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ .
Oublier la solution négative pour $x^2 = c$ . ~~« $x^2 = 25$ donne seulement $x = 5$ . »~~ FAUX. La droite $y = 25$ coupe la parabole en deux points : $x = 5$ et $x = -5$ .
Lire la mauvaise coordonnée du point d’intersection. Dans un système, la solution est le couple $(x\,;y)$ : ne donne pas seulement la hauteur $y$ si la question porte sur le nombre de minutes ou de km, qui est $x$ .

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

Gratuit · corrigé

Lire la droite d'un téléchargement de jeu

Sur sa console, un joueur télécharge un jeu de $60$ Go. Le nombre de gigaoctets restant à télécharger en fonction du nombre $x$ de minutes écoulées est une fonction affine $R(x) = ax + b$ . Sur le graphique, la droite part du point $(0\,;60)$ et passe par le point $(10\,;20)$ .
1. Lire l'ordonnée à l'origine $b$ , puis interpréter ce nombre.
2. Calculer le coefficient directeur $a$ à l'aide des deux points, et expliquer son signe.
3. Donner l'expression de $R(x)$ , puis déterminer au bout de combien de minutes le téléchargement est terminé.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Lire le forfait et le prix au kilomètre d'une location

Une agence loue une voiture pour une journée. Le prix à payer, en euros, en fonction du nombre $x$ de kilomètres parcourus est donné par la fonction affine $P(x) = 0{,}25x + 40$ .
1. Donner le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de cette fonction.
2. Interpréter ces deux nombres dans le contexte de la location.
3. Calculer le prix à payer pour un trajet de $200$ km.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Retrouver le tarif à partir de deux factures

Un grossiste facture des cartons de boissons avec un tarif affine : un montant fixe de mise en service, plus un prix par carton. Une première facture indique $186$ € pour $12$ cartons ; une seconde indique $290$ € pour $20$ cartons. On note $f(x)$ le montant en euros pour $x$ cartons, avec $f(x) = ax + b$ .
1. Calculer le coefficient directeur $a$ .
2. Calculer l'ordonnée à l'origine $b$ .
3. Donner l'expression de $f(x)$ et le prix d'un carton.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Comparer deux forfaits de téléphonie

Pour ses appels hors forfait, un client hésite entre deux offres, où $x$ est le nombre de minutes consommées hors forfait dans le mois.
Forfait A : $f(x) = 0{,}10x + 12$ .
Forfait B : $g(x) = 0{,}30x + 4$ .
1. Compléter mentalement un tableau de valeurs pour $x = 0$ , $x = 20$ et $x = 40$ , puis décrire les deux droites à tracer.
2. Résoudre graphiquement le système afin de trouver le nombre de minutes pour lequel les deux forfaits coûtent le même prix, et donner ce prix.
3. Indiquer, selon le nombre de minutes, le forfait le plus avantageux.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Parabole de l'écart de réglage d'une machine

Dans un atelier, une machine de découpe est mal réglée. On note $x$ l'écart de réglage par rapport à la valeur idéale, en dixièmes de millimètre ; $x$ peut être négatif (réglage trop bas) ou positif (réglage trop haut). Le défaut mesuré sur la pièce, en micromètres, est donné par la fonction carré $D(x) = x^2$ .
1. Compléter le tableau de valeurs de $D$ pour $x = -5, -3, 0, 3, 5$ , puis tracer la parabole.
2. Résoudre graphiquement $D(x) = 25$ : pour quels écarts le défaut vaut-il $25$ micromètres ?
3. La pièce est acceptée si le défaut est strictement inférieur à $25$ micromètres. Résoudre graphiquement $D(x) < 25$ et en déduire les écarts de réglage acceptés.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Tracer la parabole et lire l'aire d'un enclos carré

On étudie l'aire d'un enclos carré de côté $x$ (en mètres). Cette aire, en mètres carrés, est donnée par la fonction carré $A(x) = x^2$ .
1. Compléter le tableau de valeurs de $A$ pour $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ .
2. Tracer la parabole correspondante pour $x$ allant de $0$ à $5$ .
3. Par lecture graphique, déterminer la longueur du côté pour que l'aire de l'enclos soit de $16$ m $^2$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Cagnotte qui monte, carte prépayée qui baisse

Pendant les $8$ semaines d'été, un jeune suit deux montants, en euros, en fonction du nombre $x$ de semaines écoulées.
Sa cagnotte pour s'acheter une console grossit régulièrement : elle est modélisée par la fonction affine $E(x) = 8x + 30$ .
Le solde restant sur sa carte prépayée de streaming diminue : il vaut $78$ € après $3$ semaines et $58$ € après $8$ semaines. Ce solde est une fonction affine $R(x) = ax + b$ .
1. Déterminer l'expression de $R(x)$ .
2. Compléter un tableau de valeurs de $E$ et de $R$ pour $x = 0, 3, 5, 8$ , puis décrire les deux droites à tracer.
3. Résoudre graphiquement le système afin de trouver la semaine où les deux montants sont égaux, et donner ce montant.
4. Indiquer, selon la semaine, quel montant est le plus élevé.

Voir l'exercice corrigé

Bonus

L'aire maximale d'un parking rectangulaire

Un commerce veut clôturer un parking rectangulaire avec $40$ m de barrière (le périmètre total est donc de $40$ m). On note $x$ la longueur d'un côté, en mètres.
1. Justifier que l'autre côté mesure $20 - x$ , puis montrer que l'aire du parking est $A(x) = x(20 - x)$ .
2. Compléter un tableau de valeurs de $A$ pour $x = 0, 4, 8, 10, 12, 16, 20$ , puis tracer la courbe de $A$ .
3. Déterminer graphiquement la valeur de $x$ qui rend l'aire maximale, et donner cette aire maximale.

Débloquer l'exercice

Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

Commencer le quiz

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une fonction affine ?

Une fonction affine se note f(x) = ax + b. Le nombre a est le coefficient directeur : il donne la pente de la droite, c'est-à-dire de combien on monte ou on descend quand x augmente de 1. Le nombre b est l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de f quand x vaut 0, donc la hauteur à laquelle la droite coupe l'axe vertical. Sa représentation graphique est toujours une droite. Exemple concret : un forfait de location à 40 euros plus 0,25 euro par kilomètre se modélise par f(x) = 0,25 x + 40.

Comment résoudre un système de deux équations graphiquement ?

Chaque équation du système correspond à une droite. On trace les deux droites dans le même repère. La solution du système se lit aux coordonnées du point d'intersection des deux droites : la première coordonnée donne la valeur de x, la seconde donne la valeur commune des deux fonctions. Si les deux droites se coupent en un seul point, le système a une seule solution. C'est la méthode utilisée pour comparer deux forfaits et trouver à partir de quand l'un devient plus avantageux que l'autre.

Quelle est la forme de la courbe de la fonction carré ?

La fonction carré associe à un nombre x son carré, on la note f(x) = x au carré. Sa courbe s'appelle une parabole. Elle a la forme d'une cuvette tournée vers le haut, symétrique par rapport à l'axe vertical, et son point le plus bas, appelé sommet, est l'origine du repère. Les carrés sont toujours positifs ou nuls, donc la courbe ne descend jamais sous l'axe horizontal.